Real Analysis
实分析
从测度与可测性出发，理解积分、极限交换与函数空间的基本结构。
利用不等式成立条件的技巧
从首尾相等锁死不等式链出发，系统讲清怎样识别极值等号、追踪取等条件或制造严格不等式，并以全变差等于端点净位移推出单调递增为典型例题。
控制函数的非负拆分：从上下围栏到两次 Fatou
以广义控制收敛题为核心例题，讲清绝对值控制如何产生两个非负间隙，以及两次 Fatou 如何分别控制 liminf 与 limsup。
局部到整体的单调性
从任意可测集上的积分比较出发，证明积分序决定函数的几乎处处序，并以 Problem 8.2 P192.23 展示该引理如何开启 Levi 定理并最终识别极限函数。
卷积平均和恒等算子逼近
从 Lebesgue 微分定理的球平均出发，将局部平均写成卷积，区分卷积恒等元与恒等算子，并逐条解释恒等元逼近定义中的归一化、尺度和尾部条件。
Vitali覆盖定理证明
从任意精细覆盖出发，以近似最大贪心选择、相交区间五倍吞并和级数尾和控制，严格证明一维 Vitali 覆盖定理。
构造级数：主动证明一个更强的结论
以 n^{-p}f(nx) 几乎处处趋零为母题，讲清如何把点态极限强化为绝对级数收敛，再用 Tonelli 定理、换元与 L1 可求和性完成证明。
H-L极大不等式和Vitali定理
从三倍球几何引理与有限 Vitali 贪心选球出发，严格证明 Hardy–Littlewood 极大函数的可测性、弱型 (1,1) 不等式及其几乎处处有限性。
Lebesgue微分定理
从变上限积分的差商出发，把导数识别为缩小窗口上的局部平均，并解释连续点、Lebesgue 点、局部可积与几乎处处恢复点值之间的完整逻辑。
拆测度（值域）的解法
以高次矩恒定判定示性函数为母题：按函数值分层，用超水平集估计排除大于 1 的部分，再以相邻矩相等消灭中间值，并处理有符号情形。
稠密性定理
从简单函数、阶梯函数到连续紧支函数，严格证明三类规则函数在 Lp 空间中的稠密性，并揭示小测度误差与三角不等式拼接的统一机制。
Minkowski不等式证明
从 Young 与 Hölder 不等式出发，逐步证明 Lp 空间的 Minkowski 三角不等式，解释共轭指数的配对机制、端点情形、取等条件与常见循环论证。
黎曼可积和连续的关系
从 Darboux 上下阶梯函数出发，证明其极限差就是函数的点振幅，并以振幅为桥梁严格推出 Riemann 可积函数几乎处处连续，同时解释二进制分点与 Lusin 定理的关键误区。
可积性的两个重要推论
从有限积分质量的视角，严格证明 L1 函数的紧集尾部控制与 Lebesgue 积分的绝对连续性，并提炼递增耗尽和简单函数逼近两类通用证明模板。
Riemann可积和Lebesgue可积的关系
用嵌套二进制分割与 Darboux 上下阶梯函数，严格证明闭区间上 Riemann 可积函数必 Lebesgue 可积且积分相等，并用 Dirichlet 函数和 Lebesgue 判别准则说明逆命题为何失败。
Levi单调收敛定理
从非负简单函数的上确界定义出发，用缩放下界与增集列严格证明 Levi 单调收敛定理，并辨析双指标简单函数逼近中的量词、无穷积分与循环论证陷阱。
Egorov定理及其证明
从尾部坏点集出发严格证明 Egorov 定理，理解有限测度如何把几乎处处收敛升级为近一致收敛，并分析无限测度反例与可保留结论。
简单函数逼近定理
用截断与二进制量化构造非负简单函数列，严格证明其从下方单调逐点逼近非负可测函数，并讨论有界情形的一致收敛与紧支集版本。
函数的通常分解：正部、负部与非负化方法
严格理解实值函数的正部与负部，证明通常分解、可测性等价和最小性，并说明它如何把一般函数问题转化为非负函数问题。
反例的“原料”：Cantor 集合与 Cantor 映射
从三分集的几何删除、三进制编码和二进制翻译出发，系统理解 Cantor 集的零测、完美、无处稠密与不可数，以及 Cantor 函数连续单调、几乎处处导数为零却非常值的反例机制。
外测度的性质：覆盖、误差与几何分离
从覆盖下确界出发，统一理解外测度的单调性、次可数可加性、外正则性、正距离可加性，以及平移和线性变换下的体积规律。
集合论在实分析中的例题
通过收敛点集的 Fσδ 表示与介值函数的连续性判别，练习把量词、极限和函数性质翻译成可数并交、原像与开闭集。
R上的开集结构定理
从最大开区间的构造出发，严格证明实数轴上的任意开集都能唯一分解为至多可数个两两不交的开区间。
σ-代数：定义、直觉与基本例子
从可测事件系统的稳定性出发，理解 σ-代数为何要求对补集和可数并封闭，并梳理 Borel σ-代数与 Lebesgue 可测集族。