黎曼可积和连续的关系

一、直观图景：上下夹板是否合拢

把 $f$ 在点 $x$ 附近的图像想成被两块水平夹板夹住：上夹板是邻域内的上确界，下夹板是邻域内的下确界，两块夹板之间的距离就是局部振幅。

若邻域不断缩小时两块夹板最终合拢，那么附近所有函数值都被压进任意短的竖直区间中，特别地，$f(y)$ 与 $f(x)$ 的距离趋于 $0$。若夹板始终留有正距离，则无论邻域多小，函数值仍会发生固定幅度的跳动，函数在该点不连续。

二、点振幅及连续性判别

1. 定义

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 有界。对 $x\in[a,b]$ 与 $\delta>0$，记

$$B_\delta(x):=[a,b]\cap(x-\delta,x+\delta),$$

并定义

$$U_\delta(x):=\sup_{y\in B_\delta(x)}f(y), \qquad L_\delta(x):=\inf_{y\in B_\delta(x)}f(y).$$

当 $\delta\downarrow0$ 时，$U_\delta(x)$ 单调不增，$L_\delta(x)$ 单调不减。定义 $f$ 在 $x$ 处的振幅为

$$\boxed{ \omega_f(x) := \lim_{\delta\downarrow0} \left(U_\delta(x)-L_\delta(x)\right) }.$$

等价地，

$$\omega_f(x) = \inf_{\delta>0} \left( \sup_{y\in B_\delta(x)}f(y) - \inf_{y\in B_\delta(x)}f(y) \right).$$

2. 连续推出振幅为零

假设 $f$ 在 $x$ 连续。给定 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得

$$|y-x|<\delta \Longrightarrow |f(y)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}.$$

任取 $y_1,y_2\in B_\delta(x)$，由三角不等式，

$$\begin{aligned} |f(y_1)-f(y_2)| &\leq |f(y_1)-f(x)|+|f(x)-f(y_2)|\\ &<\varepsilon. \end{aligned}$$

因此

$$0\leq U_\delta(x)-L_\delta(x)\leq\varepsilon.$$

由 $\varepsilon$ 的任意性，$\omega_f(x)=0$。

3. 振幅为零推出连续

假设 $\omega_f(x)=0$。给定 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得

$$U_\delta(x)-L_\delta(x)<\varepsilon.$$

当 $y\in B_\delta(x)$ 时，$x,y$ 都属于这个邻域，而且

$$L_\delta(x)\leq f(x),f(y)\leq U_\delta(x).$$

所以

$$|f(y)-f(x)| \leq U_\delta(x)-L_\delta(x) <\varepsilon.$$

这正是 $f$ 在 $x$ 连续的定义。

三、关键桥梁：上下阶梯之差就是振幅

1. 剔除可数个二进制分点

对每个 $k\geq1$，把 $[a,b]$ 二等分 $k$ 次，得到分割 $P_k$。所有层级的分点组成

$$E:=\bigcup_{k=1}^{\infty}P_k.$$

每个 $P_k$ 都是有限集，因此 $E$ 可数，从而

$$m(E)=0.$$

固定 $x\in[a,b]\setminus E$，记第 $k$ 级中唯一包含 $x$ 的闭小区间为 $J_k(x)$，并令

$$\varphi_k(x):=\inf_{y\in J_k(x)}f(y), \qquad \psi_k(x):=\sup_{y\in J_k(x)}f(y).$$

设

$$h_k:=|J_k(x)|=\frac{b-a}{2^k}, \qquad r_k:=\operatorname{dist}\bigl(x,\partial J_k(x)\bigr)>0.$$

由于 $x$ 位于 $J_k(x)$ 内部，

$$B_{r_k}(x)\subseteq J_k(x)\subseteq B_{h_k}(x), \qquad r_k\to0,quad h_k\to0.$$

2. 上确界的夹逼

集合越大，上确界越大，因此

$$U_{r_k}(x) \leq \sup_{y\in J_k(x)}f(y) \leq U_{h_k}(x).$$

左右两端都趋于 $\lim_{\delta\downarrow0}U_\delta(x)$，故

$$\boxed{ \widetilde\psi(x) =\lim_{k\to\infty}\psi_k(x) =\lim_{\delta\downarrow0}U_\delta(x) }.$$

3. 下确界的夹逼

集合越大，下确界越小，因此

$$L_{h_k}(x) \leq \inf_{y\in J_k(x)}f(y) \leq L_{r_k}(x).$$

左右两端都趋于 $\lim_{\delta\downarrow0}L_\delta(x)$，故

$$\boxed{ \widetilde\varphi(x) =\lim_{k\to\infty}\varphi_k(x) =\lim_{\delta\downarrow0}L_\delta(x) }.$$

4. 桥梁公式

两式相减得到，对每个 $x\notin E$，

$$\boxed{ \widetilde\psi(x)-\widetilde\varphi(x) =\omega_f(x) }.$$

因此

$$\boxed{ \widetilde\varphi(x)=\widetilde\psi(x) \Longleftrightarrow \omega_f(x)=0 \Longleftrightarrow f\text{ 在 }x\text{ 连续} }, \qquad x\notin E.$$

四、Riemann 可积推出几乎处处连续

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ Riemann 可积。上下阶梯函数的构造已经给出

$$\widetilde\varphi=\widetilde\psi \qquad\mathrm{a.e.}$$

令

$$N:=\{x\in[a,b]:\widetilde\varphi(x)\neq\widetilde\psi(x)\}.$$

则 $m(N)=0$。对任意 $x\notin N\cup E$，桥梁公式给出

$$\omega_f(x) =\widetilde\psi(x)-\widetilde\varphi(x) =0.$$

由振幅判别连续性，$f$ 在 $x$ 连续。因此不连续点集 $D_f$ 满足

$$\boxed{D_f\subseteq N\cup E}.$$

两个集合都是零测集，所以

$$\boxed{m(D_f)=0}.$$

五、为什么必须单独处理分割点

若 $x$ 是二进制分点，半开小区间可能始终只从 $x$ 的一侧收缩，例如始终取

$$[x,x+2^{-k}].$$

此时 $\widetilde\varphi(x)=\widetilde\psi(x)$ 只说明右侧振幅消失，未必控制左侧，所以不能直接推出双侧连续。

解决办法是把所有分割点构成的可数集 $E$ 整体加入例外集合。题目只要求证明不连续点集是零测集，因此不需要逐个解决这些端点。

六、为什么 Lusin 定理不能直接证明

Lusin 定理只保证：对任意 $\varepsilon>0$，存在闭集 $K\subseteq[a,b]$，使

$$m([a,b]\setminus K)<\varepsilon,$$

且限制函数 $f|_K$ 连续。

但 $f|_K$ 连续只考察点在 $K$ 内趋近，不考察从 $[a,b]\setminus K$ 中趋近，因此它不等价于原函数在 $K$ 中各点连续。

例如 Dirichlet 函数

$$f=\chi_{\mathbb Q\cap[a,b]}$$

可测，因而满足 Lusin 定理；可以选取几乎占满区间的紧集 $K\subseteq\mathbb R\setminus\mathbb Q$，此时 $f|_K\equiv0$，当然连续。但 $f$ 在 $[a,b]$ 的每一点都不连续。

所以

$$\boxed{ \text{在大闭集上限制连续} \centernot\Longrightarrow \text{原函数几乎处处连续} }.$$

Lusin 定理不能替代振幅桥梁。

七、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

• 已知 Riemann 可积，要研究连续点或不连续点集；
• 已经构造 Darboux 上下阶梯函数；
• 已经得到两个极限函数几乎处处相等；
• 题目提示“考虑上下函数相等的点”。

八、变式练习