Minkowski不等式证明

Minkowski 不等式是 $L^p$ 空间中的三角不等式：

$$\boxed{\lVert f+g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p}, \qquad 1\leq p\leq\infty.$$

把 $f,g$ 看成函数空间中的两条向量，$f+g$ 是平行四边形的对角线。Minkowski 不等式说明：对角线的“长度”不超过两边长度之和。

一、共轭指数与 Young 不等式

若 $p,q>1$ 且

$$\frac1p+\frac1q=1,$$

则称 $(p,q)$ 为共轭指数，并约定 $(1,\infty)$ 与 $(\infty,1)$ 也互为共轭指数。对 $p>1$，其共轭指数为

$$q=\frac{p}{p-1}.$$

当 $a=0$ 或 $b=0$ 时结论成立。以下设 $ab>0$，令 $x=a/b>0$。两端同除以 $b$，原不等式等价于

$$x^{1/p}\leq\frac{x}{p}+1-\frac1p.$$

令

$$\varphi(x):=\frac{x}{p}+1-\frac1p-x^{1/p}.$$

则

$$\varphi'(x)=\frac1p\left(1-x^{1/p-1}\right).$$

由于 $1/p-1<0$，函数 $\varphi$ 在 $(0,1)$ 上递减，在 $(1,\infty)$ 上递增，并在 $x=1$ 处取得最小值 $0$。故 Young 不等式成立，且 $a,b>0$ 时取等当且仅当 $a=b$。

令 $a=u^p,b=v^q$，可得到常用形式

$$\boxed{uv\leq\frac{u^p}{p}+\frac{v^q}{q}}.$$

二、Hölder 不等式

1. 端点情形

若 $(p,q)=(\infty,1)$，则几乎处处有 $|f(x)|\leq\lVert f\rVert_\infty$，从而

$$\begin{aligned} \lVert fg\rVert_1 &=\int_E|fg|\,dx\\ &\leq\lVert f\rVert_\infty\int_E|g|\,dx =\lVert f\rVert_\infty\lVert g\rVert_1. \end{aligned}$$

$(p,q)=(1,\infty)$ 同理。

2. 有限指数情形：归一化

若 $\lVert f\rVert_p=0$ 或 $\lVert g\rVert_q=0$，则对应函数几乎处处为零。以下设两范数均非零，并令

$$\widetilde f=\frac{f}{\lVert f\rVert_p}, \qquad \widetilde g=\frac{g}{\lVert g\rVert_q}.$$

于是 $\lVert\widetilde f\rVert_p=\lVert\widetilde g\rVert_q=1$。逐点应用 Young 不等式，

$$|\widetilde f\widetilde g| \leq\frac1p|\widetilde f|^p+\frac1q|\widetilde g|^q.$$

积分得到

$$\int_E|\widetilde f\widetilde g|\,dx \leq\frac1p+\frac1q=1.$$

而

$$\lVert\widetilde f\widetilde g\rVert_1 =\frac{\lVert fg\rVert_1}{\lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q},$$

所以 Hölder 不等式得证。

三、Minkowski 不等式

1. $p=1$

由点态三角不等式、积分单调性与线性性，

$$\begin{aligned} \lVert f+g\rVert_1 &=\int_E|f+g|\,dx\\ &\leq\int_E(|f|+|g|)\,dx\\ &=\lVert f\rVert_1+\lVert g\rVert_1. \end{aligned}$$

2. $p=\infty$

几乎处处有

$$|f(x)+g(x)| \leq|f(x)|+|g(x)| \leq\lVert f\rVert_\infty+\lVert g\rVert_\infty.$$

对左端取本质上确界，得到结论。

3. $1<p<\infty$

令

$$h:=f+g, \qquad q:=\frac{p}{p-1}.$$

先由

$$|f+g|^p\leq2^{p-1}(|f|^p+|g|^p)$$

确认 $h\in L^p(E)$。这一步不能偷用尚未证明的 Minkowski 不等式，否则会形成循环论证。

由点态三角不等式，

$$\begin{aligned} \lVert h\rVert_p^p &=\int_E|h|\,|h|^{p-1}\,dx\\ &\leq \int_E|f|\,|h|^{p-1}\,dx +\int_E|g|\,|h|^{p-1}\,dx. \end{aligned}$$

因为 $(p-1)q=p$，所以

$$\begin{aligned} \bigl\lVert|h|^{p-1}\bigr\rVert_q &=\left(\int_E|h|^{(p-1)q}\,dx\right)^{1/q}\\ &=\left(\int_E|h|^p\,dx\right)^{1/q}\\ &=\lVert h\rVert_p^{p/q} =\lVert h\rVert_p^{p-1}. \end{aligned}$$

对两个积分分别应用 Hölder 不等式，

$$\int_E|f|\,|h|^{p-1}\,dx \leq\lVert f\rVert_p\lVert h\rVert_p^{p-1},$$ $$\int_E|g|\,|h|^{p-1}\,dx \leq\lVert g\rVert_p\lVert h\rVert_p^{p-1}.$$

因此

$$\lVert h\rVert_p^p \leq \bigl(\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p\bigr) \lVert h\rVert_p^{p-1}.$$

最终得到

$$\boxed{\lVert f+g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p}.$$

四、取等条件

当 $1<p,q<\infty$ 且 $f,g$ 均非零时，Hölder 取等当且仅当存在 $c>0$ 使

$$|f|^p=c|g|^q \qquad\text{a.e.}$$

当 $1<p<\infty$ 时，Minkowski 对非零函数取等当且仅当存在常数 $\lambda>0$ 使

$$f=\lambda g\qquad\text{a.e.}$$

实值情形意味着二者几乎处处同号且比例固定；复值情形还要求相位一致。

当 $p=1$ 时，取等条件较宽：

$$|f+g|=|f|+|g|\qquad\text{a.e.}$$

对实值函数，这等价于 $fg\geq0$ 几乎处处，比例不必固定。$p=\infty$ 时，取等由本质上确界附近的共同近极大与同向性决定，不能简单归结为全局正比例。

五、与 $L^p$ 赋范和完备性的关系

正定性来自“非负函数积分为零则几乎处处为零”，齐次性来自积分和本质上确界的缩放性质，三角不等式正是 Minkowski 不等式。因此 $\lVert\cdot\rVert_p$ 是范数。

令 $f=(f-g)+g$ 并应用 Minkowski，还可立即得到反三角不等式

$$\boxed{ \bigl|\lVert f\rVert_p-\lVert g\rVert_p\bigr| \leq\lVert f-g\rVert_p }.$$

因此范数映射是 $1$-Lipschitz 连续的。

六、方法提炼：一题通一类

常见变体

• 把积分换成求和，得到 $\ell^p$ 中的 Minkowski 不等式；
• 迭代二项形式，得到有限和的三角不等式；
• 用 Minkowski 推出反三角不等式与范数连续性；
• 研究积分型 Minkowski 不等式；
• 由取等条件理解 $1<p<\infty$ 时 $L^p$ 范数的严格凸性。

七、变式练习

八、前置知识与延伸阅读

• 可积性的两个重要推论：复习 $L^1$ 积分控制；
• 后续可继续学习 $L^p$ 空间的完备性、严格凸性、对偶空间以及 Minkowski 积分不等式。