稠密性定理

一、统一的误差机制

若两个示性函数只在集合 $A\triangle B$ 上不同，则

$$|\mathbf 1_A-\mathbf 1_B|^p =\mathbf 1_{A\triangle B},$$

所以

$$\boxed{ \lVert \mathbf 1_A-\mathbf 1_B\rVert_p =m(A\triangle B)^{1/p} }.$$

因此，只要让集合的对称差具有足够小的测度，就能让示性函数的 $L^p$ 距离足够小。后文所有“规整集合”和“磨平边界”的步骤都由这个公式控制。

二、预备定义

1. 稠密

设 $X$ 是赋范空间，$A\subseteq X$。称 $A$ 在 $X$ 中稠密，是指 $\overline A=X$。等价地，对任意 $f\in X$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $g\in A$ 使

$$\lVert f-g\rVert_X<\varepsilon.$$

本文使用的距离是

$$\lVert f-g\rVert_p =\left(\int_{\mathbb R^d}|f-g|^p\,dx\right)^{1/p}.$$

2. $L^p$-简单函数

简单函数可写成

$$s=\sum_{j=1}^N a_j\mathbf 1_{E_j},$$

其中 $E_j$ Lebesgue 可测。若 $s\in L^p(\mathbb R^d)$，则称它为 $L^p$-简单函数。

在非零值水平集的标准表示中，$a_j\neq0$ 且 $E_j$ 两两不交。由

$$\lVert s\rVert_p^p =\sum_{j=1}^N|a_j|^p m(E_j)<\infty$$

可知每个 $E_j$ 都具有有限测度。

3. 阶梯函数与连续紧支函数

本文把有限个有界矩形示性函数的线性组合称为阶梯函数：

$$h=\sum_{k=1}^M b_k\mathbf 1_{Q_k}.$$

矩形端点取开、闭或半开不影响 $L^p$ 等价类，因为边界是零测集。阶梯函数具有有限值域和有界支集，因此是 $L^p$-简单函数。

记

$$C_c(\mathbb R^d) :=\{g:g\text{ 连续且 }\operatorname{supp}(g)\text{ 紧}\}.$$

连续紧支函数有界且只在有界集合上非零，所以属于每个 $L^p(\mathbb R^d)$，其中 $1\leq p<\infty$。

三、定理 2.50：简单函数与阶梯函数稠密

第一步：简单函数逼近任意 $L^p$ 函数

先设 $f$ 为实值函数。作正负部分分解

$$f=f^+-f^-, \qquad |f|=f^++f^-.$$

由简单函数逼近定理，存在非负简单函数列 $\{u_n\}$、$\{v_n\}$，使

$$0\leq u_n\uparrow f^+, \qquad 0\leq v_n\uparrow f^-.$$

令 $s_n:=u_n-v_n$。则 $s_n$ 是简单函数且逐点收敛于 $f$。又因为 $u_n\leq f^+$、$v_n\leq f^-$，

$$\begin{aligned} |f-s_n| &=|(f^+-u_n)-(f^--v_n)|\\ &\leq(f^+-u_n)+(f^--v_n)\\ &\leq|f|. \end{aligned}$$

所以 $|f-s_n|^p\leq|f|^p$。由于 $f\in L^p$，控制函数 $|f|^p$ 可积；同时 $|f-s_n|^p\to0$。由控制收敛定理，

$$\lVert f-s_n\rVert_p^p =\int_{\mathbb R^d}|f-s_n|^p\,dx \longrightarrow0.$$

因此 $\lVert f-s_n\rVert_p\to0$，证明了 $L^p$-简单函数的稠密性。复值函数可分别逼近实部与虚部。

第二步：有限矩形逼近有限测度可测集

由 Lebesgue 测度的正则性，可取紧集 $K$ 与开集 $O$，满足

$$K\subseteq E\subseteq O, \qquad m(O\setminus K)<\eta.$$

对每个 $x\in K$，由 $O$ 的开性可选一个包含 $x$ 且包含于 $O$ 的有界开矩形。这些矩形覆盖紧集 $K$，所以存在有限子覆盖。记其并为 $R$，则

$$K\subseteq R\subseteq O.$$

于是

$$E\triangle R\subseteq O\setminus K,$$

从而

$$m(E\triangle R) \leq m(O\setminus K) <\eta.$$

第三步：阶梯函数逼近简单函数

设

$$s=\sum_{j=1}^N a_j\mathbf 1_{E_j}$$

是 $L^p$-简单函数的标准表示，其中 $a_j\neq0$。由 $s\in L^p$，每个 $E_j$ 都有有限测度。

给定 $\varepsilon>0$。对每个 $j$，取有限矩形并 $R_j$，使

$$m(E_j\triangle R_j) <\left(\frac{\varepsilon}{N|a_j|}\right)^p.$$

令

$$h:=\sum_{j=1}^N a_j\mathbf 1_{R_j}.$$

$h$ 是阶梯函数。由 Minkowski 不等式，

$$\begin{aligned} \lVert s-h\rVert_p &\leq \sum_{j=1}^N |a_j|\lVert\mathbf 1_{E_j}-\mathbf 1_{R_j}\rVert_p\\ &= \sum_{j=1}^N |a_j|m(E_j\triangle R_j)^{1/p}\\ &<\sum_{j=1}^N\frac{\varepsilon}{N} =\varepsilon. \end{aligned}$$

所以阶梯函数在 $L^p$-简单函数中稠密。

第四步：拼接两次逼近

任取 $f\in L^p(\mathbb R^d)$ 与 $\varepsilon>0$。先取简单函数 $s$ 使 $\lVert f-s\rVert_p<\varepsilon/2$，再取阶梯函数 $h$ 使 $\lVert s-h\rVert_p<\varepsilon/2$。于是

$$\lVert f-h\rVert_p \leq\lVert f-s\rVert_p+\lVert s-h\rVert_p <\varepsilon.$$

这就完成了定理 2.50。

四、定理 2.52：$C_c(\mathbb R^d)$ 稠密

第一步：磨平一个矩形的边界

设 $Q$ 是有界闭矩形。对 $\delta>0$，定义

$$\phi_{Q,\delta}(x) :=\max\left\{0,1-\frac{\operatorname{dist}(x,Q)}{\delta}\right\}.$$

距离函数连续，因此 $\phi_{Q,\delta}$ 连续。它在 $Q$ 上等于 $1$，在闭 $\delta$-邻域

$$Q_\delta :=\{x:\operatorname{dist}(x,Q)\leq\delta\}$$

之外等于 $0$，并满足 $0\leq\phi_{Q,\delta}\leq1$。由于 $Q_\delta$ 紧，$\phi_{Q,\delta}\in C_c(\mathbb R^d)$。

误差只出现在边界外侧的薄层：

$$|\mathbf 1_Q-\phi_{Q,\delta}|^p \leq\mathbf 1_{Q_\delta\setminus Q}.$$

所以

$$\lVert\mathbf 1_Q-\phi_{Q,\delta}\rVert_p^p \leq m(Q_\delta\setminus Q).$$

矩形边界为零测集，故 $\delta\downarrow0$ 时

$$m(Q_\delta\setminus Q)\longrightarrow0,$$

从而

$$\lVert\mathbf 1_Q-\phi_{Q,\delta}\rVert_p\longrightarrow0.$$

第二步：逼近阶梯函数

设

$$h=\sum_{k=1}^M b_k\mathbf 1_{Q_k}.$$

给定 $\varepsilon>0$，为每个 $k$ 选择足够小的 $\delta_k$，使

$$|b_k| \lVert\mathbf 1_{Q_k}-\phi_{Q_k,\delta_k}\rVert_p <\frac{\varepsilon}{M}.$$

令

$$g:=\sum_{k=1}^M b_k\phi_{Q_k,\delta_k}.$$

有限个连续紧支函数之和仍属于 $C_c(\mathbb R^d)$。由 Minkowski 不等式，

$$\lVert h-g\rVert_p \leq \sum_{k=1}^M |b_k| \lVert\mathbf 1_{Q_k}-\phi_{Q_k,\delta_k}\rVert_p <\varepsilon.$$

第三步：由阶梯函数过渡到任意 $L^p$ 函数

任取 $f\in L^p$ 与 $\varepsilon>0$。由定理 2.50，取阶梯函数 $h$ 使

$$\lVert f-h\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}.$$

再取 $g\in C_c$ 使

$$\lVert h-g\rVert_p<\frac{\varepsilon}{2}.$$

于是

$$\lVert f-g\rVert_p \leq\lVert f-h\rVert_p+\lVert h-g\rVert_p <\varepsilon.$$

定理 2.52 得证。

五、数形结合：一维边界薄层

在 $\mathbb R$ 上，$\mathbf 1_{[0,1]}$ 在 $0$ 与 $1$ 处跳跃。把两个跳点替换成宽度为 $\delta$ 的斜坡：

y
1        ┌──────────────┐
        ╱                ╲
0 ─────┴──────────────────┴──── x
      -δ  0              1  1+δ

定义

$$\phi_\delta(x)= \begin{cases} 0,&x\leq-\delta,\\ 1+\dfrac{x}{\delta},&-\delta<x<0,\\ 1,&0\leq x\leq1,\\ \dfrac{1+\delta-x}{\delta},&1<x<1+\delta,\\ 0,&x\geq1+\delta. \end{cases}$$

则 $\phi_\delta\in C_c(\mathbb R)$，并且

$$\begin{aligned} \lVert\mathbf 1_{[0,1]}-\phi_\delta\rVert_p^p &=2\int_0^\delta\left(1-\frac{t}{\delta}\right)^pdt\\ &=\frac{2\delta}{p+1}. \end{aligned}$$

故

$$\lVert\mathbf 1_{[0,1]}-\phi_\delta\rVert_p =\left(\frac{2\delta}{p+1}\right)^{1/p} \longrightarrow0.$$

图形揭示了本质：逼近函数不必在每一点都消除最大高度差；只要把差异压缩到越来越薄的区域，有限的 $p$ 次积分就会趋于 $0$。

六、为什么条件是 $p<\infty$

七、证明路线图

$$\boxed{f\in L^p} \xrightarrow[\text{控制收敛}]{\text{函数值离散化}} \boxed{s=\sum a_j\mathbf 1_{E_j}}$$ $$\xrightarrow[\text{测度正则性}]{E_j\approx\text{有限矩形并}} \boxed{h=\sum b_k\mathbf 1_{Q_k}} \xrightarrow[\text{边界薄层}]{\text{连续化}} \boxed{g\in C_c(\mathbb R^d)}.$$

每一箭头都分配一部分误差预算，最后用

$$\lVert f-g\rVert_p \leq\lVert f-s\rVert_p +\lVert s-h\rVert_p +\lVert h-g\rVert_p$$

完成拼接。

八、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

• 要证明某类规则函数在 $L^p$ 中稠密；
• 已知简单函数逼近、测度正则性或控制收敛定理；
• 误差可以限制在小测度集合或薄边界层；
• 最终目标比原函数多出“矩形结构”“连续性”“紧支”或“光滑性”。

标准证明流程

1. 用简单函数离散函数值；
2. 用有限矩形并规整水平集；
3. 用 $\lVert\mathbf 1_A-\mathbf 1_B\rVert_p=m(A\triangle B)^{1/p}$ 控制集合误差；
4. 在边界附近构造连续过渡层；
5. 把总误差拆成 $\varepsilon/2$ 或 $\varepsilon/3$；
6. 用 Minkowski 不等式拼接各级逼近。

常见变体

• 再与紧支磨光核卷积，可证明 $C_c^\infty(\mathbb R^d)$ 在 $L^p$ 中稠密；
• 在一般正则测度空间中，可用紧集、开集与 Urysohn 型函数代替矩形；
• 在有限测度空间上，可通过截断与量化直接证明简单函数稠密；
• 若范数换成 $L^\infty$，必须重新判断，不能沿用“小测度误差”逻辑。

九、变式练习

十、前置知识与延伸阅读

• 前置：简单函数逼近、Lebesgue 测度的正则性、控制收敛定理、Minkowski 不等式；
• 核心公式：$\lVert\mathbf 1_A-\mathbf 1_B\rVert_p=m(A\triangle B)^{1/p}$；
• 后续：磨光核、$C_c^\infty$ 的稠密性、弱导数与 Sobolev 空间。

延伸阅读：简单函数逼近定理、Minkowski 不等式证明、外测度的性质。