一、定义与比较下确界的总模板

对 E⊆RdE\subseteq\mathbb R^d，定义

m∗(E):=inf⁡{∑j=1∞∣Qj∣:E⊆⋃j=1∞Qj,Qj 为方体}.m_*(E):=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j|: E\subseteq\bigcup_{j=1}^{\infty}Q_j, Q_j\text{ 为方体}\right\}.

二、四个基本性质

1. 单调性

若 E1⊆E2E_1\subseteq E_2，则

m∗(E1)≤m∗(E2).m_*(E_1)\le m_*(E_2).

任取 E2E_2 的方体覆盖 {Qj}\{Q_j\}。因为 E1⊆E2⊆⋃jQjE_1\subseteq E_2\subseteq\bigcup_jQ_j，它也是 E1E_1 的覆盖，所以

m∗(E1)≤∑j=1∞∣Qj∣.m_*(E_1)\le\sum_{j=1}^{\infty}|Q_j|.

该式对 E2E_2 的任意覆盖成立，对这些覆盖成本取下确界便得结论。这里真正被比较的是可行覆盖族：集合越小，可行覆盖越多，下确界不会变大。

2. 次可数可加性

若 E=⋃j=1∞EjE=\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j，则

m∗(E)≤∑j=1∞m∗(Ej).m_*(E)\le\sum_{j=1}^{\infty}m_*(E_j).

若右端为无穷大，结论自动成立。否则任取 ε>0\varepsilon>0，对每个 jj 选择 EjE_j 的方体覆盖 {Qjk}k≥1\{Q_{jk}\}_{k\ge1}，使

∑k=1∞∣Qjk∣≤m∗(Ej)+ε2j.\sum_{k=1}^{\infty}|Q_{jk}| \le m_*(E_j)+\frac{\varepsilon}{2^j}.

双指标方体族覆盖 EE；又因 N×N\mathbb N\times\mathbb N 可数，它仍可重排成定义允许的单序列。于是

m∗(E)≤∑j=1∞∑k=1∞∣Qjk∣≤∑j=1∞(m∗(Ej)+ε2j)=∑j=1∞m∗(Ej)+ε.\begin{aligned} m_*(E) &\le\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}|Q_{jk}|\\ &\le\sum_{j=1}^{\infty}\left(m_*(E_j)+\frac{\varepsilon}{2^j}\right)\\ &=\sum_{j=1}^{\infty}m_*(E_j)+\varepsilon. \end{aligned}

令 ε↓0\varepsilon\downarrow0 即得结论。

3. 外正则性

对任意 E⊆RdE\subseteq\mathbb R^d，

m∗(E)=inf⁡{m∗(O):O⊇E,O 为开集}.m_*(E)=\inf\{m_*(O):O\supseteq E, O\text{ 为开集}\}.

记右端为 LL。由单调性，任意开集 O⊇EO\supseteq E 都满足 m∗(E)≤m∗(O)m_*(E)\le m_*(O)，故 m∗(E)≤Lm_*(E)\le L。

若 m∗(E)=∞m_*(E)=\infty，这个不等式已经迫使 L=∞L=\infty。以下设 m∗(E)<∞m_*(E)<\infty。任取 ε>0\varepsilon>0，选取覆盖 {Qj}\{Q_j\} 使

∑j∣Qj∣≤m∗(E)+ε2.\sum_j|Q_j|\le m_*(E)+\frac\varepsilon2.

把每个 QjQ_j 轻微膨胀成开方体 Sj⊇QjS_j\supseteq Q_j，满足

∣Sj∣≤∣Qj∣+ε2j+1.|S_j|\le |Q_j|+\frac{\varepsilon}{2^{j+1}}.

令 O=⋃jSjO=\bigcup_jS_j，则 OO 开且包含 EE。由次可数可加性和方体外测度等于体积，

m∗(O)≤∑jm∗(Sj)≤∑j∣Sj∣≤∑j∣Qj∣+ε2≤m∗(E)+ε.\begin{aligned} m_*(O) &\le\sum_jm_*(S_j) \le\sum_j|S_j|\\ &\le\sum_j|Q_j|+\frac\varepsilon2 \le m_*(E)+\varepsilon. \end{aligned}

所以 L≤m∗(E)+εL\le m_*(E)+\varepsilon；令误差归零得到反向不等式。

4. 正距离集合的可加性

若 E=E1∪E2E=E_1\cup E_2 且

d(E1,E2):=inf⁡{∣x−y∣:x∈E1,y∈E2}>0,d(E_1,E_2):=\inf\{|x-y|:x\in E_1, y\in E_2\}>0,

则

m∗(E)=m∗(E1)+m∗(E2).m_*(E)=m_*(E_1)+m_*(E_2).

次可加性给出“≤\le”。为证反向，取 0<δ<d(E1,E2)0<\delta<d(E_1,E_2)，再取 EE 的近优覆盖 {Qj}\{Q_j\}。把每个方体有限细分，使所有小方体满足 diam⁡(Qj)<δ\operatorname{diam}(Q_j)<\delta；细分不改变总体积，仍是可数覆盖。

若某个 QjQ_j 同时碰到 E1,E2E_1,E_2，可取 x∈Qj∩E1x\in Q_j\cap E_1、y∈Qj∩E2y\in Q_j\cap E_2，于是

diam⁡(Qj)≥∣x−y∣≥d(E1,E2)>δ,\operatorname{diam}(Q_j)\ge |x-y| \ge d(E_1,E_2)>\delta,

与小直径条件矛盾。因此小方体可以无重复地分流为 E1,E2E_1,E_2 的两份覆盖。若原覆盖成本不超过 m∗(E)+εm_*(E)+\varepsilon，便有

m∗(E1)+m∗(E2)≤∑j∣Qj∣≤m∗(E)+ε.m_*(E_1)+m_*(E_2) \le\sum_j|Q_j| \le m_*(E)+\varepsilon.

令 ε↓0\varepsilon\downarrow0 得到反向不等式。

三、推论：有限个不交紧集

若 F1,…,FNF_1,\ldots,F_N 两两不交且均紧，则

m∗(⨆j=1NFj)=∑j=1Nm∗(Fj).m_*\left(\bigsqcup_{j=1}^{N}F_j\right) =\sum_{j=1}^{N}m_*(F_j).

两个不交紧集必有正距离：连续函数 (x,y)↦∣x−y∣(x,y)\mapsto|x-y| 在紧集 F1×F2F_1\times F_2 上取得最小值；若最小值为零，就有某个公共点，矛盾。图片中的子列证明还能说明，条件可弱化为“一个集合紧，另一个集合闭”。

只证 N=2N=2 就足够，因为可以归纳：有限个紧集的并仍紧。令 K=⋃j=1N−1FjK=\bigcup_{j=1}^{N-1}F_j，则 KK 与 FNF_N 是两个不交紧集，先对它们使用正距离可加性，再代入归纳假设。

四、几何变换下的外测度

1. 平移不变性

对 a∈Rda\in\mathbb R^d，

m∗(E+a)=m∗(E).m_*(E+a)=m_*(E).

把 EE 的近优覆盖逐个平移，体积不变，得到 m∗(E+a)≤m∗(E)m_*(E+a)\le m_*(E)；再对 E+aE+a 平移 −a-a，得到反向不等式。这是可逆变换的常用套路：先用变换证一个方向，再用逆变换收回另一个方向。

2. 坐标伸缩

若 λi≠0\lambda_i\ne0，则

m∗(λE)=∣λ1⋯λd∣m∗(E),m_*(\lambda E)=|\lambda_1\cdots\lambda_d|m_*(E),

其中 λE={(λ1x1,…,λdxd):x∈E}\lambda E=\{(\lambda_1x_1,\ldots,\lambda_dx_d):x\in E\}。每个坐标方向的长度乘以 ∣λi∣|\lambda_i|，所以 dd 维体积倍率为它们的乘积。

3. 一般可逆线性变换

若 A∈GLd(R)A\in GL_d(\mathbb R)，则

m∗(A(E))=∣det⁡A∣m∗(E).m_*(A(E))=|\det A|m_*(E).

∣det⁡A∣|\det A| 是单位方体经 AA 变换所得平行多面体的体积，即 dd 维体积倍率。符号只表示定向是否翻转，所以取绝对值。

五、方法提炼

题型识别

  • 外测度与下确界：先判断需要任意覆盖还是近优覆盖；
  • 可数拼接：准备 ε/2j\varepsilon/2^j 误差预算；
  • 正距离：准备小直径化和覆盖分流；
  • 不交紧集：先证距离为正；
  • 可逆变换：一个方向加逆变换；
  • 线性变换体积：想到 ∣det⁡A∣|\det A|，并检查变换后覆盖形状。

标准流程

  1. 把等式拆成两个不等式；
  2. 由目标方向决定“检查所有”或“构造近优”；
  3. 设计可求和误差；
  4. 必要时把覆盖细分到指定尺度；
  5. 最后检查无穷值、可数性、覆盖形状和逆变换。

六、变式练习