空间曲线曲率与挠率的简便计算：非弧长参数公式

资料来源：彭家贵《微分几何（第二版）》曲线局部理论，以及个人学习过程中对一般参数曲率、挠率公式的推导与计算整理。

一、30 秒记住两个公式

设 $r(t)$ 是 $mathbb R^3$ 中的 $C^3$ 正则曲线。空间曲率为

$$\boxed{ \kappa(t)= \frac{\lVert r'(t)\wedge r''(t)\rVert} {\lVert r'(t)\rVert^3} }.$$

在 $r'(t)\wedge r''(t)\ne0$ 处，挠率为

$$\boxed{ \tau(t)= \frac{\bigl(r'(t),r''(t),r'''(t)\bigr)} {\lVert r'(t)\wedge r''(t)\rVert^2} }.$$

这里

$$(r',r'',r''') =\langle r',r''\wedge r'''\rangle =(r'\wedge r'')\cdot r'''$$

是混合积。

记忆口诀是：

$$\boxed{ \text{一二叉，模除速三；一二三混，除叉模方。} }$$

• “一二叉”：曲率分子是 $\lVert r'\wedge r''\rVert$；
• “速三”：曲率分母是 $\lVert r'\rVert^3$；
• “一二三混”：挠率分子是 $(r',r'',r''')$；
• “叉模方”：挠率分母是 $\lVert r'\wedge r''\rVert^2$。

二、适用条件不能省略

1. 曲率公式

曲线至少要正则，即

$$r'(t)\ne0.$$

若 $r'(t)\wedge r''(t)=0$，曲率公式仍能给出 $\kappa(t)=0$。

2. 挠率公式

使用挠率公式还需要

$$r'(t)\wedge r''(t)\ne0,$$

也就是 $\kappa(t)\ne0$。否则主法向量、副法向量以及 Frenet 意义下的挠率可能无法定义。

三、从 Frenet 标架逐步推导

令 $s$ 为弧长，并记参数速度为

$$v(t)=\frac{ds}{dt}=\lVert r'(t)\rVert>0.$$

由链式法则，

$$\frac{d}{dt}=v\frac{d}{ds}.$$

设 $(\boldsymbol t,\boldsymbol n,\boldsymbol b)$ 是右手 Frenet 标架：

$$\begin{aligned} \frac{d\boldsymbol t}{ds}&=\kappa\boldsymbol n,\\ \frac{d\boldsymbol n}{ds}&=-\kappa\boldsymbol t+\tau\boldsymbol b,\\ \frac{d\boldsymbol b}{ds}&=-\tau\boldsymbol n. \end{aligned}$$

1. 前两阶导数的标架分解

因为 $dr/ds=\boldsymbol t$，所以

$$\boxed{r'=v\boldsymbol t}.$$

继续求导：

$$\begin{aligned} r'' &=v'\boldsymbol t+v\frac{d\boldsymbol t}{dt}\\ &=v'\boldsymbol t+v^2\kappa\boldsymbol n. \end{aligned}$$

于是

$$\boxed{r''=v'\boldsymbol t+v^2\kappa\boldsymbol n}.$$

这里 $v'\boldsymbol t$ 只改变运动快慢，$v^2\kappa\boldsymbol n$ 才使切线方向发生变化。

2. 曲率公式

利用 $\boldsymbol t\wedge\boldsymbol t=0$ 以及 $\boldsymbol t\wedge\boldsymbol n=\boldsymbol b$，

$$\begin{aligned} r'\wedge r'' &=(v\boldsymbol t)\wedge \left(v'\boldsymbol t+v^2\kappa\boldsymbol n\right)\\ &=v^3\kappa\boldsymbol b. \end{aligned}$$

由于 $\lVert\boldsymbol b\rVert=1$，

$$\lVert r'\wedge r''\rVert=v^3\kappa.$$

代入 $v=\lVert r'\rVert$，便得到

$$\boxed{ \kappa= \frac{\lVert r'\wedge r''\rVert}{\lVert r'\rVert^3} }.$$

3. 挠率公式

对 $r''$ 再求一次导数，可整理为

$$r'''= \left(v''-v^3\kappa^2\right)\boldsymbol t +\left(3vv'\kappa+v^2\kappa'\right)\boldsymbol n +v^3\kappa\tau\boldsymbol b.$$

计算混合积时，不必记住前两个分量的具体形式，只需注意三个依次出现的新方向：

$$\begin{aligned} r'&=v\boldsymbol t,\\ r''&=v'\boldsymbol t+v^2\kappa\boldsymbol n,\\ r'''&=\ast\boldsymbol t+\ast\boldsymbol n +v^3\kappa\tau\boldsymbol b. \end{aligned}$$

由于 $(\boldsymbol t,\boldsymbol n,\boldsymbol b)=1$，

$$\begin{aligned} (r',r'',r''') &=v\cdot v^2\kappa\cdot v^3\kappa\tau\\ &=v^6\kappa^2\tau. \end{aligned}$$

而曲率公式的推导已经给出

$$\lVert r'\wedge r''\rVert^2=v^6\kappa^2.$$

两式相除，得到

$$\boxed{ \tau= \frac{(r',r'',r''')} {\lVert r'\wedge r''\rVert^2} }.$$

四、最稳的计算模板

设

$$r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr).$$

Step 1：连续求三阶导数

$$r',\qquad r'',\qquad r'''.$$

Step 2：外积只算一次

记

$$A=r'\wedge r''.$$

Step 3：优先计算平方

记

$$V^2=\lVert r'\rVert^2, \qquad Q=\lVert A\rVert^2.$$

不要一开始就开根号。先因式分解，再在最后一步开根号，通常更容易发现完全平方。

Step 4：用点积计算混合积

$$D=A\cdot r'''=(r',r'',r''').$$

Step 5：一次代入

$$\boxed{ \kappa=\frac{\sqrt Q}{(V^2)^{3/2}}, \qquad \tau=\frac DQ }.$$

因此草稿纸上只需固定写出

$$\boxed{ r',r'',r''' \longrightarrow A=r'\wedge r'' \longrightarrow V^2,\ Q,\ D \longrightarrow \kappa,\tau }.$$

五、六个简便计算技巧

技巧 1：外积服务三个位置

同一个 $A=r'\wedge r''$ 同时用于

$$\kappa=\frac{\lVert A\rVert}{\lVert r'\rVert^3}, \qquad \tau=\frac{A\cdot r'''}{\lVert A\rVert^2}.$$

不必为了挠率重新展开一个三阶行列式。

技巧 2：平方先算，根号后开

例如

$$1+\frac2{t^2}+\frac1{t^4} =\left(1+\frac1{t^2}\right)^2.$$

如果直接对原式开根号，很容易错过这个完全平方。

技巧 3：看到 $r'''=0$，立即检查 $\tau$

如果 $r'''=0$ 且 $r'\wedge r''\ne0$，则

$$\boxed{\tau=0}.$$

这种二次参数曲线落在某个固定平面内。

技巧 4：提前识别恒等式

三角函数题常用

$$\sin^2t+\cos^2t=1.$$

双曲函数题则要区分

$$\cosh^2t-\sinh^2t=1,$$

和

$$\cosh^2t+\sinh^2t=\cosh2t.$$

技巧 5：用量纲检查常数次数

若坐标整体具有长度量纲，则曲率和挠率都应具有长度倒数的量纲。出现 $a$ 时，最终结果通常应含有 $1/a$ 的整体量纲，而不应仍具有长度量纲。

技巧 6：用参数缩放恢复公式指数

在线性换参下，形式上有

$$r'\sim c,qquad r''\sim c^2,qquad r'''\sim c^3.$$

所以

$$r'\wedge r''\sim c^3, \qquad (r',r'',r''')\sim c^6.$$

为了消去参数速度，曲率分母必须是 $\lVert r'\rVert^3$，挠率分母必须是 $\lVert r'\wedge r''\rVert^2$。

六、四类典型例题

例 1：双曲函数曲线

设

$$r(t)=(a\cosh t,a\sinh t,bt),qquad a>0.$$

计算得到

$$\begin{aligned} \lVert r'\rVert^2&=a^2\cosh2t+b^2,\\ r'\wedge r''&=(-ab\sinh t,ab\cosh t,-a^2),\\ \lVert r'\wedge r''\rVert^2 &=a^2\left(a^2+b^2\cosh2t\right),\\ (r',r'',r''')&=a^2b. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ \kappa(t)= \frac{a\sqrt{a^2+b^2\cosh2t}} {(a^2\cosh2t+b^2)^{3/2}}, \qquad \tau(t)=\frac{b}{a^2+b^2\cosh2t} }.$$

例 2：二次参数曲线

设

$$r(t)=(3t-t^2,3t^2,3t+t^2).$$

有

$$r'\wedge r''=(-18,-12,18),$$ $$\lVert r'\rVert^2=2(9+22t^2), \qquad r'''=0.$$

所以

$$\boxed{ \kappa(t)=\frac{3\sqrt{11}}{(9+22t^2)^{3/2}}, \qquad \tau(t)=0 }.$$

曲线还满足

$$-3x-2y+3z=0,$$

这说明它确实位于固定平面内。

例 3：圆柱螺旋线的平移与换相位

设

$$r(t)=\bigl(a(1-\sin t),a(1-\cos t),bt\bigr), \qquad a>0.$$

关键中间量为

$$\begin{aligned} \lVert r'\rVert^2&=a^2+b^2,\\ r'\wedge r''&=(-ab\cos t,ab\sin t,-a^2),\\ \lVert r'\wedge r''\rVert^2&=a^2(a^2+b^2),\\ (r',r'',r''')&=-a^2b. \end{aligned}$$

故

$$\boxed{ \kappa=\frac{a}{a^2+b^2}, \qquad \tau=-\frac{b}{a^2+b^2} }.$$

曲率与挠率都是常数。挠率的负号来自曲线旋转方向与所采用空间定向的组合。

例 4：满足 $\kappa=\tau$ 的曲线

设

$$r(t)=\left(at,\sqrt2a\ln t,\frac at\right), \qquad a>0,quad t>0.$$

有

$$\begin{aligned} \lVert r'\rVert^2 &=\frac{a^2(1+t^2)^2}{t^4},\\ r'\wedge r'' &=\left( \frac{\sqrt2a^2}{t^4}, -\frac{2a^2}{t^3}, -\frac{\sqrt2a^2}{t^2} \right),\\ \lVert r'\wedge r''\rVert^2 &=\frac{2a^4(1+t^2)^2}{t^8},\\ (r',r'',r''')&=\frac{2\sqrt2a^3}{t^6}. \end{aligned}$$

代入公式得到

$$\boxed{ \kappa(t)=\tau(t) =\frac{\sqrt2\,t^2}{a(1+t^2)^2} }.$$

本题中 $\ln t$ 要求 $t>0$，这是计算之外必须补充的定义域条件。

七、单位速度情形作为自检

若参数本身就是弧长，即

$$\lVert r'(s)\rVert=1,$$

那么一般公式简化为

$$\boxed{\kappa=\lVert r''\rVert},$$

以及

$$\boxed{ \tau= \frac{(r',r'',r''')}{\lVert r''\rVert^2} }.$$

这是检查一般参数公式是否记对的最快方法之一。

八、易错点清单

九、方法提炼

十、变式练习