Chap1：欧氏空间、向量分析与合同变换

资料来源：课堂手写笔记与彭家贵《微分几何（第二版）》第一章。本文已统一符号、补足推导，并修正手稿中的公式与论证问题。

本文约定向量属于 $\mathbb R^3$，内积记作 $\langle a,b\rangle$，范数记作 $\lVert a\rVert$，外积沿用教材记号 $a\wedge b$，混合积记作

$$(a,b,c)=\langle a,b\wedge c\rangle.$$

向量场写作 $F=(P,Q,R)$。本文默认使用列向量，因此合同变换写成 $\tau(x)=Tx+p$；教材采用行向量时会写成 $\tau(X)=XT+P$，二者只差转置约定。

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一、内积、外积与混合积

1. 内积：长度与角度的代数编码

在 $\mathbb R^3$ 中，标准内积为

$$\langle a,b\rangle=a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3.$$

它产生范数和夹角：

$$\lVert a\rVert=\sqrt{\langle a,a\rangle}, \qquad \cos\theta= \frac{\langle a,b\rangle}{\lVert a\rVert\lVert b\rVert} \quad(a,b\ne0).$$

极化恒等式把内积还原为长度：

$$\boxed{ \langle a,b\rangle =\frac14\left(\lVert a+b\rVert^2-\lVert a-b\rVert^2\right) }.$$

等价地，

$$\langle a,b\rangle =\frac12\left( \lVert a\rVert^2+\lVert b\rVert^2-\lVert a-b\rVert^2 \right).$$

第二个形式特别适合研究合同变换：只要距离保持，内积也随之保持。

2. 外积：法向、面积与定向

设 $a=(a^1,a^2,a^3)$、$b=(b^1,b^2,b^3)$，定义

$$\begin{aligned} a\wedge b &= \begin{vmatrix} i&j&k\\ a^1&a^2&a^3\\ b^1&b^2&b^3 \end{vmatrix}\\ &= \left( a^2b^3-a^3b^2, a^3b^1-a^1b^3, a^1b^2-a^2b^1 \right). \end{aligned}$$

几何上，$a\wedge b$ 垂直于 $a,b$ 张成的平面，方向由右手定则确定，长度等于二者张成的平行四边形面积：

$$\lVert a\wedge b\rVert =\lVert a\rVert\lVert b\rVert\sin\theta.$$

常用性质为

$$a\wedge b=-b\wedge a,$$ $$a\wedge(\lambda b+\mu c) =\lambda(a\wedge b)+\mu(a\wedge c).$$

特别地，

$$a\wedge a=0, \qquad a\wedge b=0 \iff a,b\text{ 线性相关}.$$

3. 混合积：有向体积

定义

$$(a,b,c)=\langle a,b\wedge c\rangle = \begin{vmatrix} a^1&a^2&a^3\\ b^1&b^2&b^3\\ c^1&c^2&c^3 \end{vmatrix}.$$

其绝对值是平行六面体体积，符号记录定向。循环置换不改变混合积，而交换任意两个向量使其变号：

$$(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b), \qquad (a,b,c)=-(b,a,c).$$

4. 向量三重积与 Lagrange 恒等式

向量三重积满足

$$\boxed{ a\wedge(b\wedge c) =\langle a,c\rangle b- \langle a,b\rangle c }.$$

可以用“保留中间向量”记忆：先写 $b$，其系数是另外两者 $a,c$ 的内积；再减去 $c$ 乘以 $a,b$ 的内积。

对 $v_1,v_2,v_3,v_4\in\mathbb R^3$，Lagrange 恒等式为

$$\boxed{ \begin{aligned} \langle v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4\rangle &= \langle v_1,v_3\rangle\langle v_2,v_4\rangle\\ &\quad- \langle v_1,v_4\rangle\langle v_2,v_3\rangle. \end{aligned} }$$

逐步推导如下：

$$\begin{aligned} \langle v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4\rangle &=\langle v_1,v_2\wedge(v_3\wedge v_4)\rangle &&\text{（混合积循环性）}\\ &=\left\langle v_1, \langle v_2,v_4\rangle v_3- \langle v_2,v_3\rangle v_4 \right\rangle &&\text{（向量三重积）}\\ &=\langle v_1,v_3\rangle\langle v_2,v_4\rangle -\langle v_1,v_4\rangle\langle v_2,v_3\rangle &&\text{（内积线性性）}. \end{aligned}$$

令 $v_1=v_3=a$、$v_2=v_4=b$，得到重要特例

$$\lVert a\wedge b\rVert^2 =\lVert a\rVert^2\lVert b\rVert^2- \langle a,b\rangle^2.$$

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二、向量值函数的微分

设

$$\begin{aligned} a(t)&=(a^1(t),a^2(t),a^3(t)),\\ b(t)&=(b^1(t),b^2(t),b^3(t)),\\ c(t)&=(c^1(t),c^2(t),c^3(t)), \end{aligned}$$

且 $\lambda=\lambda(t)$ 为实值函数。向量函数逐分量求导：

$$a'(t)= \left( \frac{da^1}{dt}, \frac{da^2}{dt}, \frac{da^3}{dt} \right).$$

1. 四个乘法法则

标量与向量：

$$\boxed{ \frac{d}{dt}(\lambda a) =\lambda'a+\lambda a' }.$$

内积：

$$\boxed{ \frac{d}{dt}\langle a,b\rangle =\langle a',b\rangle+ \langle a,b'\rangle }.$$

因为

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}\langle a,b\rangle &=\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^{3}a^ib^i\\ &=\sum_{i=1}^{3}(a^i)'b^i+ \sum_{i=1}^{3}a^i(b^i)'\\ &=\langle a',b\rangle+langle a,b'\rangle. \end{aligned}$$

外积：

$$\boxed{ \frac{d}{dt}(a\wedge b) =a'\wedge b+a\wedge b' }.$$

例如第一分量为

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}(a^2b^3-a^3b^2) &=(a^2)'b^3+a^2(b^3)'\\ &\quad-(a^3)'b^2-a^3(b^2)', \end{aligned}$$

这正是 $a'\wedge b+a\wedge b'$ 的第一分量，其余两分量同理。

混合积：

$$\boxed{ \frac{d}{dt}(a,b,c) =(a',b,c)+(a,b',c)+(a,b,c') }.$$

逐步推导为

$$\begin{aligned} \frac{d}{dt}(a,b,c) &=\frac{d}{dt}\langle a,b\wedge c\rangle\\ &=\langle a',b\wedge c\rangle +\left\langle a,\frac{d}{dt}(b\wedge c)\right\rangle\\ &=\langle a',b\wedge c\rangle +\langle a,b'\wedge c\rangle +\langle a,b\wedge c'\rangle\\ &=(a',b,c)+(a,b',c)+(a,b,c'). \end{aligned}$$

2. 方法提炼

看到向量表达式求导时：

1. 先判断运算是标量乘法、内积、外积还是混合积；
2. 每一项只让一个因子求导；
3. 保持原有因子顺序，尤其是外积；
4. 若不确定，回到坐标分量检查一个分量。

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三、梯度、散度与旋度

普通导数测量单变量函数的变化率。对空间中的标量场和向量场，我们还要回答：标量场在哪个方向增长最快？向量场在一点附近是净流出还是净流入？向量场在一点附近绕哪根轴旋转？

引入形式微分算子

$$\nabla= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right).$$

1. 梯度

对标量场 $f=f(x,y,z)$，定义

$$\boxed{ \operatorname{grad}f =\nabla f =\left(f_x,f_y,f_z\right) }.$$

若 $u$ 是单位向量，则沿 $u$ 的方向导数为

$$D_uf=\langle\nabla f,u\rangle.$$

由 Cauchy—Schwarz 不等式，

$$D_uf \leq\lVert\nabla f\rVert\lVert u\rVert =\lVert\nabla f\rVert.$$

当 $u$ 与 $\nabla f$ 同向时取等，所以 $\nabla f$ 指向函数增长最快的方向，并垂直于经过该点的正则等值面。

2. 散度

对向量场 $F=(P,Q,R)$，定义

$$\boxed{ \operatorname{div}F =\langle\nabla,F\rangle =P_x+Q_y+R_z }.$$

散度的结果是标量：正值表示局部像“源”，负值表示局部像“汇”。

3. 旋度

定义

$$\boxed{ \begin{aligned} \operatorname{rot}F &=\nabla\wedge F\\ &= \begin{vmatrix} i&j&k\\ \dfrac{\partial}{\partial x}& \dfrac{\partial}{\partial y}& \dfrac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}\\ &= \left( R_y-Q_z, P_z-R_x, Q_x-P_y \right). \end{aligned} }$$

4. 两个基本恒等式

若有关函数具有连续二阶偏导，则

$$\boxed{ \operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0 }, \qquad \boxed{ \operatorname{div}(\operatorname{rot}F)=0 }.$$

逐步验证第一个恒等式：

$$\begin{aligned} \operatorname{rot}(\operatorname{grad}f) &=\nabla\wedge(f_x,f_y,f_z)\\ &= \left( f_{zy}-f_{yz}, f_{xz}-f_{zx}, f_{yx}-f_{xy} \right)\\ &=(0,0,0). \end{aligned}$$

逐步验证第二个恒等式：

$$\begin{aligned} \operatorname{div}(\operatorname{rot}F) &=\frac{\partial}{\partial x}(R_y-Q_z) +\frac{\partial}{\partial y}(P_z-R_x) +\frac{\partial}{\partial z}(Q_x-P_y)\\ &=R_{yx}-Q_{zx}+P_{zy}-R_{xy}+Q_{xz}-P_{yz}\\ &=(R_{yx}-R_{xy})+(Q_{xz}-Q_{zx})+(P_{zy}-P_{yz})\\ &=0. \end{aligned}$$

最后一步使用 Schwarz 定理：连续二阶混合偏导可以交换。

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四、正交标架

三维欧氏空间 $E^3$ 的一个正交标架

$$\{X;e_1,e_2,e_3\}$$

由一点 $X$ 和三个两两正交的单位向量组成，即

$$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}.$$

记所有正交标架的集合为 $\mathcal F$。选定正交标架后，每个点 $P$ 都可唯一写成

$$\overrightarrow{XP} =x^1e_1+x^2e_2+x^3e_3,$$

于是 $(x^1,x^2,x^3)$ 是 $P$ 在该标架下的坐标。

若 $\tau$ 是合同变换，则

$$\{X;e_1,e_2,e_3\} \longmapsto \{\tau(X);Te_1,Te_2,Te_3\},$$

其中 $T$ 是 $\tau$ 的正交线性部分。因为 $T$ 保持内积，新的三个向量仍是标准正交基。

反过来，给定任意两个正交标架

$$\{X;e_1,e_2,e_3\}, \qquad \{\bar X;\bar e_1,\bar e_2,\bar e_3\},$$

存在唯一合同变换把第一个标架变为第二个标架：先平移 $X$ 到 $\bar X$，再用唯一的正交变换将每个 $e_i$ 送到 $\bar e_i$。因此，在选定参考标架后，$\mathcal F$ 与合同变换群一一对应；更准确地说，合同变换群在 $\mathcal F$ 上的作用是自由且传递的。

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五、合同变换的一般形式

1. 先消去平移

令

$$p=\tau(0), \qquad S(x)=\tau(x)-p.$$

则 $S(0)=0$，且 $S$ 仍保持距离。问题转化为证明：固定原点的保距映射一定是正交线性变换。

2. 由保距推出保持内积

首先，

$$\lVert S(x)\rVert =d(S(x),S(0)) =d(x,0) =\lVert x\rVert.$$

再由极化恒等式，

$$\begin{aligned} \langle S(x),S(y)\rangle &=\frac12\left( \lVert S(x)\rVert^2+ \lVert S(y)\rVert^2- \lVert S(x)-S(y)\rVert^2 \right)\\ &=\frac12\left( \lVert x\rVert^2+ \lVert y\rVert^2- \lVert x-y\rVert^2 \right)\\ &=\langle x,y\rangle. \end{aligned}$$

3. 证明可加性

令 $u=S(x+y)-S(x)-S(y)$。展开其长度平方：

$$\begin{aligned} \lVert u\rVert^2 &=\lVert S(x+y)\rVert^2 +\lVert S(x)+S(y)\rVert^2\\ &\quad-2\langle S(x+y),S(x)+S(y)\rangle. \end{aligned}$$

利用内积保持性，三项分别为

$$\lVert x+y\rVert^2, \qquad \lVert x+y\rVert^2, \qquad 2\lVert x+y\rVert^2.$$

故 $\lVert u\rVert^2=0$，于是

$$S(x+y)=S(x)+S(y).$$

4. 证明齐次性

对任意 $\lambda\in\mathbb R$，令 $v=S(\lambda x)-\lambda S(x)$，则

$$\begin{aligned} \lVert v\rVert^2 &=\lVert S(\lambda x)\rVert^2 +\lambda^2\lVert S(x)\rVert^2 -2\lambda\langle S(\lambda x),S(x)\rangle\\ &=\lambda^2\lVert x\rVert^2 +\lambda^2\lVert x\rVert^2 -2\lambda^2\lVert x\rVert^2\\ &=0. \end{aligned}$$

所以 $S(\lambda x)=\lambda S(x)$。结合可加性，$S$ 是线性变换。

5. 线性部分正交

写作 $S(x)=Tx$。因为 $S$ 保持内积，

$$\langle Tx,Ty\rangle=\langle x,y\rangle$$

对任意 $x,y$ 成立。矩阵形式为

$$x^{\mathsf T}T^{\mathsf T}Ty=x^{\mathsf T}y,$$

故 $T^{\mathsf T}T=I_3$，即 $T\in O(3)$。最终

$$\tau(x)=Tx+p.$$

6. 教材思路：保持线段比例

在 $S(0)=0$ 的前提下，取 $x\ne0$ 和 $0<t<1$。保距性给出

$$d(0,S(tx))=t\lVert x\rVert, \qquad d(S(tx),S(x))=(1-t)\lVert x\rVert.$$

二者之和等于 $d(0,S(x))=\lVert x\rVert$。因此三角不等式取等，$S(tx)$ 位于从 $0$ 到 $S(x)$ 的线段上，所以存在 $s\in[0,1]$ 使

$$S(tx)=sS(x).$$

再比较到原点的距离：

$$t\lVert x\rVert =\lVert S(tx)\rVert =s\lVert S(x)\rVert =s\lVert x\rVert.$$

因 $x\ne0$，故 $s=t$，从而 $S(tx)=tS(x)$。

7. 唯一性与定向

若 $T_1x+p_1=T_2x+p_2$ 对所有 $x$ 成立，令 $x=0$ 得 $p_1=p_2$；代回后有 $T_1x=T_2x$，故 $T_1=T_2$。

正交矩阵满足

$$(\det T)^2=\det(T^{\mathsf T}T)=1,$$

因此 $\det T=\pm1$：

• $\det T=1$：保持定向，包括旋转及其与平移的复合；
• $\det T=-1$：反转定向，包括镜面反射及其与刚体运动的复合。

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六、一题通一类

1. 题型识别

题目出现的信号	首选工具
长度、夹角、正交	内积与极化恒等式
法向、面积、右手定向	外积
有向体积、三个向量共面	混合积或行列式
随参数变化的内积、外积	多线性乘法法则
最快增长、源汇、局部旋转	grad、div、rot
保持距离	消去平移，再证正交线性
两个正交标架之间的关系	正交矩阵与平移

2. 标准流程

处理向量恒等式时，先辨认结果应为标量还是向量，再使用对称性、反交换性和多线性；涉及双重外积时使用向量三重积，不确定时回到分量或行列式核对。

处理向量分析恒等式时，先正确写出 $\nabla f$ 或 $\nabla\wedge F$ 的分量，再施加第二个算子，将混合偏导成对整理，并明确引用连续二阶偏导可交换。

处理合同变换时：

1. 令 $p=\tau(0)$，用 $S(x)=\tau(x)-p$ 消去平移；
2. 用保距性证明保持范数；
3. 用极化恒等式证明保持内积；
4. 证明 $S$ 可加、齐次，因而线性；
5. 由内积保持推出 $T^{\mathsf T}T=I$；
6. 检查表示的唯一性和 $\det T$ 的符号。

3. 常见变体

• 将 $\mathbb R^3$ 换成 $\mathbb R^n$：合同变换仍为 $\tau(x)=Tx+p$，其中 $T\in O(n)$。
• 只给出保持范数而非保持距离：若映射已知线性，则可直接推出正交；若未给线性，不能草率下结论。
• 判断是否保持定向：求正交线性部分的行列式，而不是看是否含平移。
• 从 $\operatorname{rot}F=0$ 求势函数：除计算条件外，还要检查定义域是否单连通。

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七、变式练习