一、推论一：紧集外的积分尾部可以任意小

思路为什么自然？

定义域是 Rd\mathbb R^d，目标又要求紧集，最自然的选择是闭球

Bk:={x∈Rd:∣x∣≤k}.B_k:=\{x\in\mathbb R^d:|x|\leq k\}.

它们由小到大覆盖整个空间。若球内积分趋于总积分，球外积分就必然趋于 00。

逐步证明

第一步：非负化

令 g:=∣f∣g:=|f|。则 g≥0g\geq0，且

∫Rdg(x) dx<+∞.\int_{\mathbb R^d}g(x)\,dx<+\infty.

第二步：用紧集耗尽空间

对 k≥1k\geq1，令

Bk:={x∈Rd:∣x∣≤k}.B_k:=\{x\in\mathbb R^d:|x|\leq k\}.

由 Heine—Borel 定理，BkB_k 是紧集；并且

Bk↑Rd,1Bk↑1.B_k\uparrow\mathbb R^d, \qquad \mathbf1_{B_k}\uparrow1.

第三步：应用 Levi 单调收敛定理

因为

0≤g1Bk↑g,0\leq g\mathbf1_{B_k}\uparrow g,

所以

∫Bkg(x) dx=∫Rdg1Bk dx↑∫Rdg(x) dx.\int_{B_k}g(x)\,dx =\int_{\mathbb R^d}g\mathbf1_{B_k}\,dx \uparrow \int_{\mathbb R^d}g(x)\,dx.

给定 ε>0\varepsilon>0，存在 NN，使

0≤∫Rdg(x) dx−∫BNg(x) dx<ε.0\leq \int_{\mathbb R^d}g(x)\,dx -\int_{B_N}g(x)\,dx <\varepsilon.

第四步：把积分差改写成补集积分

由 Rd=BN∪˙BNc\mathbb R^d=B_N\mathbin{\dot\cup}B_N^c 及积分可加性，

∫BNc∣f(x)∣ dx=∫Rdg(x) dx−∫BNg(x) dx<ε.\int_{B_N^c}|f(x)|\,dx =\int_{\mathbb R^d}g(x)\,dx -\int_{B_N}g(x)\,dx <\varepsilon.

取 K:=BNK:=B_N，结论得证。

直观图景

想象坐标空间中的同心闭球

B1⊆B2⊆⋯ .B_1\subseteq B_2\subseteq\cdots.

球的半径不断增大，最终覆盖每个固定点。由于总积分有限，球外剩余的质量只能趋于 00。但这并不要求 f(x)f(x) 在 ∣x∣→∞|x|\to\infty 时逐点趋于 00；这里控制的是整体积分尾部。

二、推论二：Lebesgue 积分的绝对连续性

这里的“绝对连续”不是函数 ff 的绝对连续性，而是集合函数

ν(e):=∫e∣f∣ dx\nu(e):=\int_e|f|\,dx

相对于 Lebesgue 测度 mm 的一致小量性质。

思路为什么自然？

只知道 m(e)m(e) 小，还不能直接估计 ∫e∣f∣\int_e|f|，因为 ff 可能无界。把 g:=∣f∣g:=|f| 分解为

g=(g−φ)+φ,g=(g-\varphi)+\varphi,

其中 φ\varphi 是从下方逼近 gg 的有界简单函数：误差 g−φg-\varphi 的总积分可以预先做小，而 φ\varphi 在 ee 上的积分可以用 Mm(e)M m(e) 控制。

逐步证明

第一步：选取简单函数逼近

令 g:=∣f∣g:=|f|。根据非负可测函数的简单函数逼近及积分定义，对给定的 ε>0\varepsilon>0，存在非负可测简单函数 φ\varphi，满足

0≤φ≤g0\leq\varphi\leq g

且

∫E(g−φ) dx<ε2.\int_E(g-\varphi)\,dx<\frac{\varepsilon}{2}.

第二步：利用简单函数的有界性

取

M:=max⁡{1,∥φ∥∞}>0.M:=\max\{1,\|\varphi\|_{\infty}\}>0.

则 0≤φ≤M0\leq\varphi\leq M。定义

δ:=ε2M>0.\delta:=\frac{\varepsilon}{2M}>0.

令 M≥1M\geq1 是为了避免 φ≡0\varphi\equiv0 时除以 00。

第三步：估计小集合上的积分

任取可测集 e⊆Ee\subseteq E，并设 m(e)<δm(e)<\delta。由积分的单调性，

∫eg dx=∫e(g−φ) dx+∫eφ dx≤∫E(g−φ) dx+∫eM dx<ε2+Mm(e)<ε2+Mδ=ε.\begin{aligned} \int_eg\,dx &=\int_e(g-\varphi)\,dx+\int_e\varphi\,dx\\ &\leq\int_E(g-\varphi)\,dx+\int_eM\,dx\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+Mm(e)\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+M\delta\\ &=\varepsilon. \end{aligned}

因此

∫e∣f(x)∣ dx<ε.\int_e|f(x)|\,dx<\varepsilon.

再由积分三角不等式，

∣∫ef(x) dx∣≤∫e∣f(x)∣ dx<ε.\left|\int_ef(x)\,dx\right| \leq\int_e|f(x)|\,dx <\varepsilon.

三、两个推论的统一理解

推论改变什么固定什么核心工具
紧集尾部控制让空间窗口 BkB_k 变大函数 $f
积分绝对连续性让集合测度 m(e)m(e) 变小函数 $f

四、方法提炼

题型识别特征

  • 已知 f∈L1f\in L^1，目标中出现“对任意 ε>0\varepsilon>0”；
  • 要证明紧集外、充分远处或大球外的积分很小；
  • 要证明当 m(e)m(e) 很小时，∫e∣f∣\int_e|f| 很小；
  • 需要把无界函数转化为“有界主体 + 小积分误差”。

标准流程 A：控制无穷远尾部

  1. 令 g=∣f∣g=|f|；
  2. 选递增紧集 Kn↑RdK_n\uparrow\mathbb R^d，通常取闭球；
  3. 对 g1Kng\mathbf1_{K_n} 使用 Levi 定理；
  4. 将全空间积分与 KnK_n 上积分之差写成 KncK_n^c 上积分；
  5. 选择充分大的 nn。

标准流程 B：控制小测度集合

  1. 令 g=∣f∣g=|f|；
  2. 选 0≤φ≤g0\leq\varphi\leq g，使 ∫(g−φ)\int(g-\varphi) 足够小；
  3. 取 M≥∥φ∥∞M\geq\|\varphi\|_{\infty} 且 M>0M>0；
  4. 令 δ\delta 与 ε/M\varepsilon/M 同阶；
  5. 使用 ∫eg≤∫E(g−φ)+Mm(e).\int_eg \leq\int_E(g-\varphi)+Mm(e).

常见变体

  • 把闭球 BkB_k 换成闭立方体 [−k,k]d[-k,k]^d；
  • 把 Rd\mathbb R^d 换成可被递增有限测度集耗尽的空间；
  • 先证明截断形式：存在 M>0M>0 使 ∫{∣f∣>M}∣f∣\int_{\{|f|>M\}}|f| 很小，再控制 Mm(e)Mm(e)；
  • 对函数列使用一致版本：若一族函数在 L1L^1 中一致可积，则可让同一个 δ\delta 同时控制整族函数；
  • 将两个推论组合，用于积分极限交换、稠密性证明与全空间上的局部化论证。

五、变式训练

六、前置知识与延伸阅读