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#Lebesgue积分

以广义控制收敛题为核心例题，讲清绝对值控制如何产生两个非负间隙，以及两次 Fatou 如何分别控制 liminf 与 limsup。

从任意可测集上的积分比较出发，证明积分序决定函数的几乎处处序，并以 Problem 8.2 P192.23 展示该引理如何开启 Levi 定理并最终识别极限函数。

从有限积分质量的视角，严格证明 L1 函数的紧集尾部控制与 Lebesgue 积分的绝对连续性，并提炼递增耗尽和简单函数逼近两类通用证明模板。

用嵌套二进制分割与 Darboux 上下阶梯函数，严格证明闭区间上 Riemann 可积函数必 Lebesgue 可积且积分相等，并用 Dirichlet 函数和 Lebesgue 判别准则说明逆命题为何失败。

从非负简单函数的上确界定义出发，用缩放下界与增集列严格证明 Levi 单调收敛定理，并辨析双指标简单函数逼近中的量词、无穷积分与循环论证陷阱。

严格理解实值函数的正部与负部，证明通常分解、可测性等价和最小性，并说明它如何把一般函数问题转化为非负函数问题。