一、严格定义：负部本身是非负函数

设 f:E→Rf:E\to\mathbb R。定义

f+(x):=max⁡{f(x),0},f−(x):=max⁡{−f(x),0}.f^+(x):=\max\{f(x),0\}, \qquad f^-(x):=\max\{-f(x),0\}.

逐点看：

f(x)f(x)f+(x)f^+(x)f−(x)f^-(x)
f(x)≥0f(x)\ge0f(x)f(x)00
f(x)<0f(x)<000−f(x)-f(x)

图像上，f+f^+ 保留横轴上方并把下方压成零；f−f^- 把横轴下方关于横轴翻到上方，并把原来上方压成零。

二、两个基本恒等式

证明是逐点的。固定 x∈Ex\in E：

  • 若 f(x)≥0f(x)\ge0，则 f+(x)=f(x),f−(x)=0f^+(x)=f(x),f^-(x)=0；
  • 若 f(x)<0f(x)<0，则 f+(x)=0,f−(x)=−f(x)f^+(x)=0,f^-(x)=-f(x)。

代入后，两种情形都同时满足

f+(x)−f−(x)=f(x),f+(x)+f−(x)=∣f(x)∣.f^+(x)-f^-(x)=f(x), \qquad f^+(x)+f^-(x)=|f(x)|.

三、闭式公式与互斥性

把

f=f+−f−,∣f∣=f++f−f=f^+-f^-, \qquad |f|=f^++f^-

视为关于 f+,f−f^+,f^- 的方程组，相加、相减得到

f+=∣f∣+f2,f−=∣f∣−f2.f^+=\frac{|f|+f}{2}, \qquad f^-=\frac{|f|-f}{2}.

此外，对每个 xx，

f+(x)f−(x)=0,f^+(x)f^-(x)=0,

并且

{f+>0}={f>0},{f−>0}={f<0}.\{f^+>0\}=\{f>0\}, \qquad \{f^->0\}=\{f<0\}.

所以两部分可以都不是零函数，却不会在同一点同时严格为正。

还有基本控制

0≤f±≤∣f∣.0\le f^\pm\le|f|.

四、为什么它是标准而不是随意的分解

假设

f=g−h,g≥0,h≥0.f=g-h, \qquad g\ge0,\quad h\ge0.

那么

f+≤g,f−≤h.f^+\le g, \qquad f^-\le h.

因为 f=g−h≤gf=g-h\le g 且 0≤g0\le g，

f+=max⁡{f,0}≤g.f^+=\max\{f,0\}\le g.

同理由 −f=h−g≤h-f=h-g\le h 得 f−≤hf^-\le h。

五、可测性

设 (E,M)(E,\mathcal M) 为可测空间。则

f 可测  ⟺  f+,f− 均可测⟹∣f∣ 可测.f\text{ 可测} \iff f^+,f^-\text{ 均可测} \Longrightarrow |f|\text{ 可测}.

若 ff 可测，连续函数

φ+(t)=max⁡{t,0},φ−(t)=max⁡{−t,0}\varphi_+(t)=\max\{t,0\}, \qquad \varphi_-(t)=\max\{-t,0\}

与 ff 复合后给出 f+,f−f^+,f^-，故它们可测。

反过来，若 f±f^\pm 可测，由

f=f+−f−,∣f∣=f++f−f=f^+-f^-, \qquad |f|=f^++f^-

以及可测函数对和、差封闭，得到 ff 与 ∣f∣|f| 可测。

六、它为什么会在大量证明中出现

1. 从非负函数积分扩展到一般函数

对一般可测函数，用

∫Ef:=∫Ef+−∫Ef−\int_Ef := \int_Ef^+-\int_Ef^-

定义积分，但必须排除 +∞−∞+\infty-\infty。同时

∫E∣f∣=∫Ef++∫Ef−.\int_E|f| = \int_Ef^++\int_Ef^-.

所以

f∈L1(E)  ⟺  ∫Ef+<∞ 且 ∫Ef−<∞  ⟺  ∫E∣f∣<∞.f\in L^1(E) \iff \int_Ef^+<\infty\text{ 且 }\int_Ef^-<\infty \iff \int_E|f|<\infty.

2. 把非负版本推广到一般版本

常用证明模板是：

  1. 写 f=f+−f−f=f^+-f^-；
  2. 分别对两个非负函数使用已知定理；
  3. 检查两部分有限，避免未定义的无穷差；
  4. 相减恢复关于 ff 的结论。

3. 净值与总量

f=f+−f−f=f^+-f^- 表示允许抵消的净值，∣f∣=f++f−|f|=f^++f^- 表示不允许抵消的总量。因此积分理论常先考察 ∫∣f∣\int|f|；这与级数中的绝对收敛思想同源。

4. 截断逼近

正部就是截断 f+=f∨0f^+=f\vee0。更一般地，

fn=(−n)∨(f∧n)f_n=(-n)\vee(f\wedge n)

把无界函数截成有界函数。正负部是整套截断逼近方法的基本模型。

5. Jordan 分解的原型

函数分解

f=f+−f−f=f^+-f^-

与符号测度分解

ν=ν+−ν−\nu=\nu^+-\nu^-

使用同一个思想：把有正有负的对象拆成两个互斥的非负对象。

七、截断不会放大误差

对 a,b∈Ra,b\in\mathbb R，

∣a+−b+∣≤∣a−b∣,∣a−−b−∣≤∣a−b∣.|a^+-b^+|\le|a-b|, \qquad |a^--b^-|\le|a-b|.

于是对函数 f,gf,g，

∣f±−g±∣≤∣f−g∣.|f^\pm-g^\pm|\le|f-g|.

因此，逐点收敛 fn→ff_n\to f 会推出 fn±→f±f_n^\pm\to f^\pm；而在 LpL^p 中，

∥fn±−f±∥p≤∥fn−f∥p.\|f_n^\pm-f^\pm\|_p \le \|f_n-f\|_p.

这说明正负部不仅能分解单个函数，也能稳定地穿过极限。

八、方法提炼

题型识别

  • 已知定理只对非负函数成立，目标是一般实值函数；
  • 积分中有正负抵消，或要比较 ∫f\int f 与 ∫∣f∣\int|f|；
  • 需要处理 max⁡{f,0}\max\{f,0\}、min⁡{f,0}\min\{f,0\} 或截断；
  • 遇到符号测度、Jordan 分解或全变差。

标准流程

  1. 明确 f−=max⁡{−f,0}f^-=\max\{-f,0\} 是非负约定；
  2. 写出 f=f+−f−f=f^+-f^- 与 ∣f∣=f++f−|f|=f^++f^-；
  3. 分别处理两个非负函数；
  4. 相减前检查 +∞−∞+\infty-\infty；
  5. 涉及极限时使用 11-Lipschitz 性；
  6. 涉及唯一性时补充互斥条件。

九、变式练习