一、思路溯源：为什么偏偏是 gk±fkg_k\pm f_k？

Fatou 引理最自然的使用对象是非负可测函数列：若 hk≥0h_k\geq0，则

∫Elim inf⁡k→∞hk(x) dx≤lim inf⁡k→∞∫Ehk(x) dx.\int_E\liminf_{k\to\infty}h_k(x)\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_Eh_k(x)\,dx.

但 fkf_k 可能变号，不能直接代入 Fatou。题目给出的绝对值控制

∣fk∣≤gk\lvert f_k\rvert\leq g_k

恰好等价于

−gk≤fk≤gk.-g_k\leq f_k\leq g_k.

在每个点 xx，数值 fk(x)f_k(x) 都落在区间 [−gk(x),gk(x)][-g_k(x),g_k(x)] 中。于是自然考察它到两个端点的距离：

围栏对应间隙非负性的来源
下围栏 −gk-g_kfk−(−gk)=gk+fkf_k-(-g_k)=g_k+f_kfk≥−gkf_k\geq-g_k
上围栏 gkg_kgk−fkg_k-f_kfk≤gkf_k\leq g_k

因此

gk+fk≥0,gk−fk≥0.g_k+f_k\geq0, \qquad g_k-f_k\geq0.

二、为什么一个间隙不够？

Fatou 只提供单向不等式。若只对 gk+fkg_k+f_k 使用 Fatou，只能得到

∫Ef dx≤lim inf⁡k→∞∫Efk dx,\int_Ef\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx,

它排除了积分数列落到目标值下方，却没有排除积分数列跑到目标值上方。

再对 gk−fkg_k-f_k 使用 Fatou，才能得到

lim sup⁡k→∞∫Efk dx≤∫Ef dx.\limsup_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx \leq \int_Ef\,dx.

因此，两次 Fatou 的分工是

gk+fk 控制 lim inf⁡,gk−fk 控制 lim sup⁡.\boxed{ g_k+f_k\text{ 控制 }\liminf, \qquad g_k-f_k\text{ 控制 }\limsup. }

三、核心例题：广义控制收敛

题号依据所附截图记录；由于未提供教材名称，本文不补写无法核实的书目信息。

第一步：确认极限函数可积

由 ∣fk∣≤gk\lvert f_k\rvert\leq g_k 及点态收敛，

∣f(x)∣=lim⁡k→∞∣fk(x)∣≤lim⁡k→∞gk(x)=g(x).\lvert f(x)\rvert =\lim_{k\to\infty}\lvert f_k(x)\rvert \leq \lim_{k\to\infty}g_k(x) =g(x).

因为 g≥0g\geq0 且 ∫Eg<+∞\int_Eg<+\infty，所以 f∈L1(E)f\in L^1(E)。

第二步：对下间隙 gk+fkg_k+f_k 使用 Fatou

由 gk+fk≥0g_k+f_k\geq0 且 gk+fk→g+fg_k+f_k\to g+f，Fatou 引理给出

∫E(g+f) dx≤lim inf⁡k→∞∫E(gk+fk) dx.\int_E(g+f)\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_E(g_k+f_k)\,dx.

利用 ∫Egk→∫Eg<+∞\int_Eg_k\to\int_Eg<+\infty，可将这个有限收敛项从 lim inf⁡\liminf 中分离：

∫Eg dx+∫Ef dx≤∫Eg dx+lim inf⁡k→∞∫Efk dx.\int_Eg\,dx+\int_Ef\,dx \leq \int_Eg\,dx +\liminf_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx.

消去 ∫Eg\int_Eg，得到

∫Ef dx≤lim inf⁡k→∞∫Efk dx.\boxed{ \int_Ef\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx }.

第三步：对上间隙 gk−fkg_k-f_k 使用 Fatou

由 gk−fk≥0g_k-f_k\geq0 且 gk−fk→g−fg_k-f_k\to g-f，Fatou 引理给出

∫E(g−f) dx≤lim inf⁡k→∞∫E(gk−fk) dx.\int_E(g-f)\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_E(g_k-f_k)\,dx.

使用

lim inf⁡k→∞(−ak)=−lim sup⁡k→∞ak\liminf_{k\to\infty}(-a_k) = -\limsup_{k\to\infty}a_k

以及 ∫Egk→∫Eg\int_Eg_k\to\int_Eg，得到

∫Eg dx−∫Ef dx≤∫Eg dx−lim sup⁡k→∞∫Efk dx.\int_Eg\,dx-\int_Ef\,dx \leq \int_Eg\,dx -\limsup_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx.

因此

lim sup⁡k→∞∫Efk dx≤∫Ef dx.\boxed{ \limsup_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx \leq \int_Ef\,dx }.

第四步：用上下极限夹逼

综合两侧估计，

lim sup⁡k→∞∫Efk dx≤∫Ef dx≤lim inf⁡k→∞∫Efk dx.\limsup_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx \leq \int_Ef\,dx \leq \liminf_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx.

另一方面，任何数列都满足 lim inf⁡≤lim sup⁡\liminf\leq\limsup。所以二者只能相等：

lim inf⁡k→∞∫Efk dx=lim sup⁡k→∞∫Efk dx=∫Ef dx.\liminf_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx = \limsup_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx = \int_Ef\,dx.

最终

lim⁡k→∞∫Efk(x) dx=∫Ef(x) dx.\boxed{ \lim_{k\to\infty}\int_Ef_k(x)\,dx = \int_Ef(x)\,dx }.

四、两个控制条件的不同职责

后一条件还有更深的意义：它排除了控制函数的积分质量向无穷远或越来越窄的区域逃逸。

例如在 E=RE=\mathbb R 上取

fk=gk=1[k,k+1].f_k=g_k=\mathbf1_{[k,k+1]}.

则 fk(x)→0f_k(x)\to0、gk(x)→0g_k(x)\to0，而

∫Rfk dx=∫Rgk dx=1.\int_{\mathbb R}f_k\,dx = \int_{\mathbb R}g_k\,dx =1.

点态上每个固定位置最终都看不见质量，但总质量一直存在，只是不断移动。条件 ∫gk→∫g\int g_k\to\int g 正是用来排除这一现象。

五、逻辑辨析：点态极限与积分极限不是同一件事

把目标等价改写为

lim⁡k→∞∫E(fk−f) dx=0\lim_{k\to\infty}\int_E(f_k-f)\,dx=0

是正确的证明策略，但它仍然是待证命题，其中包括“这个极限存在”。

题目已知 gk−fk→g−fg_k-f_k\to g-f，所以 Fatou 左端可以写成

∫Elim⁡k→∞(gk−fk) dx.\int_E\lim_{k\to\infty}(g_k-f_k)\,dx.

但是 Fatou 右端仍必须写成

lim inf⁡k→∞∫E(gk−fk) dx,\liminf_{k\to\infty}\int_E(g_k-f_k)\,dx,

因为积分数列的普通极限尚未证明存在。事实上，由于 ∫Egk\int_Eg_k 已知收敛，

lim⁡k→∞∫E(gk−fk) dx 存在  ⟺  lim⁡k→∞∫Efk dx 存在.\lim_{k\to\infty}\int_E(g_k-f_k)\,dx\text{ 存在} \iff \lim_{k\to\infty}\int_Ef_k\,dx\text{ 存在}.

若预先默认左边存在，就已经默认了待证积分数列收敛。

六、方法提炼

七、变式练习

八、前置知识与延伸阅读