利用不等式成立条件的技巧

最常见的逻辑骨架是

$$A_0\geq A_1\geq\cdots\geq A_n=A_0.$$

由于首尾相等，链中不可能有任何一步严格变小，因此

$$A_0=A_1=\cdots=A_n.$$

接下来真正重要的问题不是“等号已经成立”，而是：每一步不等式在什么条件下取等？这个条件能否转化为题目所求的单调性、线性相关、同号、比例关系或几乎处处相等？

严格说，这个技巧应称为“利用不等式的取等条件”，而不是泛泛的“不等号成立条件”。

一、思路溯源：为什么会想到追取等条件？

1. 题设给的是精确等号，而不是普通估计

若一个量通常只能满足

$$F(x)\geq m,$$

题目却额外给出

$$F(x)=m,$$

那么题目往往不是要我们继续估计 $F(x)$，而是要研究“什么时候能够达到理论下界 $m$”。这是一类典型的等号刻画问题。

例如：

• 三角不等式达到等号，往往意味着方向一致或实数同号；
• Cauchy—Schwarz 不等式达到等号，意味着向量线性相关；
• 严格凸函数的 Jensen 不等式达到等号，通常意味着各输入相等；
• 非负函数积分等于 $0$，意味着函数几乎处处等于 $0$；
• 全变差等于端点净位移，意味着路径没有反向折返。

这些结论的共同点是：数值等号暴露了对象的结构。

2. 结论是结构性的，题设却是数量性的

本题的题设是

$$V_a^b(f)=f(b)-f(a),$$

这是一个数量等式；目标却是证明 $f$ 单调递增，这是一个对任意 $x<y$ 都成立的结构性质。遇到这种“数量条件 $\Longrightarrow$ 结构结论”的题，应主动寻找一个已知不等式，使题设恰好对应它的取等情形。

3. 先写出永远成立的基准不等式

由三角不等式，对任意分割

$$P:a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b,$$

都有

$$\sum_{i=1}^n|f(t_i)-f(t_{i-1})| \geq \left|\sum_{i=1}^n(f(t_i)-f(t_{i-1}))\right| =|f(b)-f(a)|.$$

对所有分割取上确界，得到

$$V_a^b(f)\geq|f(b)-f(a)|.$$

因此题设正是在说：全变差达到了这个普遍下界。既然总路程已经小到不能再小，函数就不可能出现任何额外的反向运动。

二、抽象母技巧：首尾相等锁死不等式链

证明

若其中某一步严格成立，例如 $A_k>A_{k+1}$，则结合其余各步可得

$$A_0\geq A_k>A_{k+1}\geq A_n,$$

从而 $A_0>A_n$，与 $A_0=A_n$ 矛盾。因此每一步都只能取等。

这个原理有两种常用落地方式。

方式一：直接调用取等条件

先由首尾相等推出关键不等式取等，再写出该不等式的取等条件。例如实数三角不等式

$$|u+v|\leq|u|+|v|$$

取等当且仅当

$$uv\geq0,$$

即 $u,v$ 同号或至少一个为 $0$。

方式二：违反结论就制造严格不等式

有时完整分析取等条件比较繁琐。此时可以假设目标结构不成立，并证明不等式链中的某一步必然严格，从而与首尾相等矛盾：

$$\text{目标结构失败} \Longrightarrow A_k>A_{k+1} \Longrightarrow A_0>A_n.$$

三、直观图景：总路程等于净位移意味着没有折返

把 $f(x)$ 想成一个人在竖直方向的位置，参数 $x$ 表示时间：

• $f(b)-f(a)$ 是从开始到结束的净上升量；
• $V_a^b(f)$ 是途中所有上升量和下降量的绝对值之和，即累计路程。

如果途中下降了高度 $h>0$，为了最终到达同一个终点，之后必须额外再上升 $h$。因此这次折返会使累计路程比净上升量多出 $2h$。

所以可以直观地记成

$$\boxed{ \text{总变差} =\text{净上升量} +2\times\text{总下降量} }.$$

题设说总变差恰好等于净上升量，于是总下降量只能为 $0$。

四、典型例题：全变差达到端点位移

1. 怎样从目标反推构造？

要证明单调递增，必须证明

$$\forall,x,y\in[a,b],qquad x<y\Longrightarrow f(x)\leq f(y).$$

因此任取 $x<y$，目标转化为证明

$$d:=f(y)-f(x)\geq0.$$

题目唯一能控制函数局部增量的工具是全变差的分割定义，所以应把 $x,y$ 插入分割中。为了让公式结构一眼可见，再记

$$A:=f(b)-f(a).$$

由题设 $A=V_a^b(f)\geq0$。

2. 建立首尾相等的不等式链

考虑包含 $a,x,y,b$ 的分割；若 $x=a$ 或 $y=b$，删去重复点即可。由全变差定义，

$$\begin{aligned} A=V_a^b(f) &\geq |f(x)-f(a)|+|f(y)-f(x)|+|f(b)-f(y)|\\ &\geq \left|f(x)-f(a)+f(b)-f(y)\right| +|f(y)-f(x)|. \end{aligned}$$

注意

$$\begin{aligned} f(x)-f(a)+f(b)-f(y) &=f(b)-f(a)-\bigl(f(y)-f(x)\bigr)\\ &=A-d. \end{aligned}$$

于是

$$A\geq|A-d|+|d|.$$

另一方面，由三角不等式，

$$|A-d|+|d| \geq|(A-d)+d| =|A| =A.$$

因此得到完整的锁死链：

$$\boxed{ A\geq|A-d|+|d|\geq A }.$$

首尾相等，所以

$$|A-d|+|d|=|(A-d)+d|.$$

3. 解法一：分析三角不等式的取等条件

对实数 $u,v$，

$$|u+v|=|u|+|v| \Longleftrightarrow uv\geq0.$$

这里取

$$u=A-d,qquad v=d.$$

于是

$$(A-d)d\geq0.$$

并且

$$(A-d)+d=A\geq0.$$

两个数同号而且和非负，所以二者都非负，特别地

$$d\geq0.$$

即 $f(y)-f(x)\geq0$，所以 $f(y)\geq f(x)$。由于 $x<y$ 任意，$f$ 在 $[a,b]$ 上单调递增。

4. 解法二：假设下降，直接制造严格不等式

假设存在 $x<y$ 使

$$d=f(y)-f(x)<0.$$

因为 $A\geq0$，所以 $A-d>0$。于是

$$|A-d|+|d| =(A-d)+(-d) =A-2d.$$

又因 $d<0$，所以

$$A-2d>A.$$

这与 $A\geq|A-d|+|d|$ 矛盾。因此不存在下降区间，故 $f$ 单调递增。

五、原答案最容易看不懂的跳步

原答案实际上写出了

$$A\geq|A-d|+|d|\geq|A|=A,$$

然后直接说“这表明 $f(y)\geq f(x)$”。中间省略的是：

1. 首尾都是 $A$，所以第二个不等式必须取等；
2. 三角不等式取等说明 $A-d$ 与 $d$ 同号；
3. 二者之和为 $A\geq0$，故二者都非负；
4. 因而 $d=f(y)-f(x)\geq0$。

所以阅读含有多个不等号的证明时，不要只追问“这个不等号为什么成立”，还要追问：已知条件是否迫使它取等？如果取等，遗漏的等号条件是什么？

六、常见取等条件速查

不等式	典型取等条件	常得到的结构
$	u+v	\leq
$\lVert x+y\rVert\leq\lVert x\rVert+\lVert y\rVert$（欧氏空间）	$x,y$ 正向线性相关	同方向、共线
$	\langle x,y\rangle	\leq\lVert x\rVert\lVert y\rVert$
Hölder 不等式，$1<p,q<\infty$	$	f
Minkowski 不等式，$1<p<\infty$	非零函数正向共线	$f=\lambda g$ a.e.，$\lambda>0$
$0\leq g$ 且 $\int g=0$	$g=0$ a.e.	几乎处处消失
严格凸情形的 Jensen 不等式	输入变量几乎处处为常量	无波动、集中

七、方法提炼：看到什么信号，采取什么动作？

做题时可以反复问自己：

题设为什么偏偏给等号？这个等号是哪条普遍不等式的取等情形？

这句话往往就是寻找突破口的开关。

八、易错点清单

九、变式练习

十、讲义进阶视角

讲义中的例3.29给出

$$f\text{ 单调递增} \Longrightarrow V_a^b(f)=f(b)-f(a).$$

本题要求证明逆向。题设中的精确等号提示我们研究全变差下界的取等情形；把任意 $x<y$ 放入分割，则能将“是否发生局部下降”送入三角不等式，从而用取等条件排除下降。

进一步地，任意实值 BV 函数都可作 Jordan 分解，写成两个单调递增函数之差。直观上，一个分量记录上升，另一个分量记录下降。本题的等号条件意味着“下降分量”没有任何变化，因此函数本身单调递增。这说明取等条件往往是在判断某个非负缺陷量是否为零。

十一、复习优先级

十二、关联阅读