Levi单调收敛定理

一、定理陈述

若单调收敛只在几乎处处意义下成立，可在零测集上重新定义函数；积分不变，所以证明时可先假设 $f_k(x)\uparrow f(x)$ 对每个 $x$ 都成立。

二、严格证明

第一步：容易的一侧

由

$$0\leq f_k\leq f_{k+1}\leq f,$$

及积分的单调性，

$$\int_Xf_k\,d\mu \leq\int_Xf_{k+1}\,d\mu \leq\int_Xf\,d\mu.$$

定义

$$L:=\lim_{k\to\infty}\int_Xf_k\,d\mu =\sup_k\int_Xf_k\,d\mu,$$

则

$$L\leq\int_Xf\,d\mu.$$

第二步：选取简单函数下界

任取非负简单函数 $\varphi$ 满足

$$0\leq\varphi\leq f,$$

并固定 $0<c<1$。定义

$$E_k:=\{x\in X:f_k(x)\geq c\varphi(x)\}.$$

因为 $f_k\leq f_{k+1}$，所以 $E_k\subseteq E_{k+1}$。

若 $\varphi(x)=0$，则 $x\in E_k$ 对所有 $k$ 都成立；若 $\varphi(x)>0$，则

$$f(x)\geq\varphi(x)>c\varphi(x).$$

由 $f_k(x)\to f(x)$，存在 $k_x$ 使当 $k\geq k_x$ 时 $f_k(x)\geq c\varphi(x)$。因此

$$E_k\uparrow X.$$

第三步：把函数比较转成积分比较

由 $E_k$ 的定义，

$$c\varphi\mathbf1_{E_k}\leq f_k.$$

所以

$$c\int_{E_k}\varphi\,d\mu \leq\int_Xf_k\,d\mu \leq L.$$

若

$$\varphi=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf1_{A_j}, \qquad a_j\geq0,$$

则

$$\int_{E_k}\varphi\,d\mu =\sum_{j=1}^{m}a_j\mu(A_j\cap E_k).$$

由 $A_j\cap E_k\uparrow A_j$ 及测度的下连续性，

$$\int_{E_k}\varphi\,d\mu \uparrow\int_X\varphi\,d\mu.$$

这里只处理简单函数的有限项求和，没有使用 Levi 定理，所以不存在循环论证。

令 $k\to\infty$，再令 $c\uparrow1$，得

$$\int_X\varphi\,d\mu\leq L.$$

第四步：对所有简单函数取上确界

根据非负 Lebesgue 积分的定义，

$$\int_Xf\,d\mu =\sup_{\substack{0\leq\varphi\leq f\\ \varphi\text{ 为简单函数}}} \int_X\varphi\,d\mu \leq L.$$

与 $L\leq\int_Xf\,d\mu$ 合并，得

$$\boxed{ \lim_{k\to\infty}\int_Xf_k\,d\mu =\int_Xf\,d\mu }.$$

三、为什么双指标简单函数逼近不能直接闭环？

一个自然想法是：对每个 $f_k$ 取 $\varphi_{k,n}\uparrow f_k$，再取 $\psi_n\uparrow f$，希望通过 $|\varphi_{k,n}-\psi_n|$ 估计积分之差。这个思路抓住了简单函数逼近的本质，但有四个关键缺口。

一个同时暴露前两个问题的例子

在 $(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R),m)$ 上取

$$f_k=\mathbf1_{[-k,k]}, \qquad f\equiv1.$$

则 $f_k\uparrow f$，但对每个 $k$ 都有

$$\sup_{x\in\mathbb R}|f_k(x)-f(x)|=1.$$

同时

$$\int_{\mathbb R}f_k\,dm =2k\uparrow+\infty =\int_{\mathbb R}f\,dm.$$

定理结论成立，但不能把它写成两个积分的有限绝对值之差。

四、方法提炼

五、直接推论

推论 1：在可测集上积分

对任意 $A\in\mathcal M$，由

$$f_k\mathbf1_A\uparrow f\mathbf1_A,$$

得

$$\int_Af_k\,d\mu\uparrow\int_Af\,d\mu.$$

推论 2：非负函数级数可逐项积分

若 $g_n\geq0$ 均可测，令 $S_N:=\sum_{n=1}^{N}g_n$，则

$$S_N\uparrow\sum_{n=1}^{\infty}g_n.$$

因此

$$\int_X\sum_{n=1}^{\infty}g_n\,d\mu =\sum_{n=1}^{\infty}\int_Xg_n\,d\mu.$$

六、变式练习

七、前置知识与延伸阅读