Riemann可积和Lebesgue可积的关系

一、直观图景：上下矩形夹住函数图像

把 $f$ 的图像想象成一条不规则曲线。在每个小区间上，用最低高度画矩形，组成下阶梯 $\varphi_k$；用最高高度画矩形，组成上阶梯 $\psi_k$。图像始终夹在二者之间：

$$\varphi_k(x)\leq f(x)\leq\psi_k(x).$$

当二进制分割从 $2^k$ 段加密到 $2^{k+1}$ 段时，每个旧区间被一分为二。搜索范围缩小以后，下确界不会下降，上确界不会上升，所以下阶梯向上抬升、上阶梯向下降低。

Riemann 可积恰好意味着上下矩形的总面积差趋于 $0$。Lebesgue 理论告诉我们：非负函数积分为 $0$ 时，它只能在零测集以外处处为 $0$。所以两座极限阶梯几乎处处重合。

二、严格定理

三、逐步证明

1. 由 Riemann 可积得到有界性

Riemann 可积函数必有界，因此存在 $M>0$，使得

$$|f(x)|\leq M, \qquad x\in[a,b].$$

这个统一界稍后将作为有界收敛定理的控制函数。

2. 作嵌套的二进制等分

对每个 $k\geq1$，令

$$x_{i,k}:=a+\frac{i}{2^k}(b-a), \qquad i=0,1,\ldots,2^k.$$

记闭小区间

$$J_{i,k}:=[x_{i-1,k},x_{i,k}], \qquad i=1,\ldots,2^k.$$

为了定义单值的阶梯函数，再采用半开分配：

$$I_{i,k}:= \begin{cases} [x_{i-1,k},x_{i,k}),&1\leq i<2^k,\\ [x_{2^k-1,k},b],&i=2^k. \end{cases}$$

于是 $[a,b]$ 是 $I_{i,k}$ 的不交并。闭区间 $J_{i,k}$ 用于取上下确界；半开区间 $I_{i,k}$ 用于决定端点属于哪个台阶。

3. 构造上下阶梯函数

在每个 $J_{i,k}$ 上定义

$$m_{i,k}:=\inf_{x\in J_{i,k}}f(x), \qquad M_{i,k}:=\sup_{x\in J_{i,k}}f(x).$$

令 $\chi_E$ 表示集合 $E$ 的示性函数，并定义

$$\varphi_k := \sum_{i=1}^{2^k}m_{i,k}\chi_{I_{i,k}}, \qquad \psi_k := \sum_{i=1}^{2^k}M_{i,k}\chi_{I_{i,k}}.$$

它们都是有限值阶梯函数，因而既 Riemann 可积又 Lebesgue 可积。对任意 $x\in[a,b]$，若 $x\in I_{i,k}$，则 $x\in J_{i,k}$，所以

$$m_{i,k}\leq f(x)\leq M_{i,k}.$$

因此

$$\boxed{\varphi_k\leq f\leq\psi_k}.$$

又因为 $|f|\leq M$，所以

$$|\varphi_k|\leq M, \qquad |\psi_k|\leq M.$$

4. 证明上下阶梯的单调性

固定 $x\in[a,b]$。第 $k+1$ 级中包含 $x$ 的闭小区间是第 $k$ 级相应闭小区间的子集。根据“集合缩小时，下确界不减、上确界不增”，

$$\varphi_k(x)\leq\varphi_{k+1}(x), \qquad \psi_{k+1}(x)\leq\psi_k(x).$$

定义逐点极限

$$\widetilde\varphi(x):=\lim_{k\to\infty}\varphi_k(x), \qquad \widetilde\psi(x):=\lim_{k\to\infty}\psi_k(x).$$

阶梯函数可测，可测函数列的逐点极限仍可测，因此 $\widetilde\varphi$、$\widetilde\psi$ 可测。由逐点夹逼还有

$$\boxed{\widetilde\varphi\leq f\leq\widetilde\psi}, \qquad |\widetilde\varphi|,|\widetilde\psi|\leq M.$$

5. 把 Darboux 和写成阶梯函数积分

记 $|J_{i,k}|=(b-a)/2^k$。由于有限阶梯函数的 Riemann 积分和 Lebesgue 积分相同，

$$\begin{aligned} L(f,P_k) &=\sum_{i=1}^{2^k}m_{i,k}|J_{i,k}|\\ &=\int_{[a,b]}^{\mathrm R}\varphi_k(x)\,dx =\int_{[a,b]}^{\mathrm L}\varphi_k(x)\,dx, \end{aligned}$$

以及

$$\begin{aligned} U(f,P_k) &=\sum_{i=1}^{2^k}M_{i,k}|J_{i,k}|\\ &=\int_{[a,b]}^{\mathrm R}\psi_k(x)\,dx =\int_{[a,b]}^{\mathrm L}\psi_k(x)\,dx. \end{aligned}$$

半开端点的选择不会改变积分，因为有限个端点组成零测集，也不影响阶梯函数的 Riemann 积分。

6. 使用 Riemann 可积性

分割 $P_k$ 的网格长度满足

$$\|P_k\|=\frac{b-a}{2^k}\longrightarrow0.$$

由于 $f$ Riemann 可积，上下 Darboux 和沿这列分割分别满足

$$\lim_{k\to\infty}L(f,P_k) = \int_{[a,b]}^{\mathrm R}f(x)\,dx,$$ $$\lim_{k\to\infty}U(f,P_k) = \int_{[a,b]}^{\mathrm R}f(x)\,dx.$$

下和与上和必须分别带极限，并且二者的极限都等于 Riemann 积分。

7. 用有界收敛定理传递积分极限

因为 $[a,b]$ 测度有限，且 $|\varphi_k|,|\psi_k|\leq M$，常函数 $M\chi_{[a,b]}$ 可积。由有界收敛定理，

$$\lim_{k\to\infty} \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\varphi_k(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\widetilde\varphi(x)\,dx,$$ $$\lim_{k\to\infty} \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\psi_k(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\widetilde\psi(x)\,dx.$$

结合前两步，得到

$$\int_{[a,b]}^{\mathrm L}\widetilde\varphi(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm R}f(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\widetilde\psi(x)\,dx.$$

8. 从积分相等推出几乎处处相等

由于 $\widetilde\varphi\leq\widetilde\psi$，函数

$$g:=\widetilde\psi-\widetilde\varphi$$

非负且可测，并满足

$$\int_{[a,b]}g(x)\,dx=0.$$

由“非负可测函数积分为 $0$ 当且仅当它几乎处处为 $0$”，

$$\widetilde\psi=\widetilde\varphi \qquad\mathrm{a.e.}\ x\in[a,b].$$

9. 夹逼得到可测性与积分相等

令

$$N:=\{x\in[a,b]:\widetilde\varphi(x)\neq\widetilde\psi(x)\}.$$

则 $m(N)=0$。在 $[a,b]\setminus N$ 上，由夹逼得到

$$f=\widetilde\varphi=\widetilde\psi.$$

$\widetilde\varphi$ 可测，而 Lebesgue 测度空间完备，所以与它几乎处处相等的 $f$ 也 Lebesgue 可测。又因 $|f|\leq M$ 且 $m([a,b])<\infty$，$f$ Lebesgue 可积。最后，Lebesgue 积分不受零测集上函数值改变的影响，故

$$\boxed{ \int_{[a,b]}^{\mathrm L}f(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm L}\widetilde\varphi(x)\,dx = \int_{[a,b]}^{\mathrm R}f(x)\,dx }.$$

四、两类可积性的完整关系

1. 正向命题成立

在有界闭区间上，

$$\boxed{ f\text{ Riemann 可积} \Longrightarrow f\text{ Lebesgue 可积} }$$

且两种积分值相等。

2. 逆命题不成立

在 $[a,b]$ 上定义 Dirichlet 函数

$$f(x):=\chi_{\mathbb Q\cap[a,b]}(x).$$

有理数集可数，因而为零测集，所以 $f$ Lebesgue 可积且

$$\int_{[a,b]}^{\mathrm L}f(x)\,dx=0.$$

但任意非退化小区间都同时含有有理数和无理数，故任意分割 $P$ 都满足

$$L(f,P)=0, \qquad U(f,P)=b-a.$$

上下和无法靠拢，因此 $f$ 不 Riemann 可积。这说明

$$f\text{ Lebesgue 可积} \centernot\Longrightarrow f\text{ Riemann 可积}.$$

3. 精确边界：Lebesgue 判别准则

因此，两种积分的差异并不只是“函数是否可测”，而在于 Riemann 积分对不连续点的分布要求更强。Dirichlet 函数处处不连续，所以被该准则排除；只有少量不连续点的有界函数则仍可能 Riemann 可积。

五、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

• 题目要求比较 Riemann 积分与 Lebesgue 积分；
• 已知函数 Riemann 可积，需要证明可测性或 Lebesgue 可积性；
• 出现 Darboux 上下和、嵌套分割、阶梯函数或上下逼近；
• 希望把“有限和趋于同一极限”转成“两个函数几乎处处相等”。

常见变体

• 改用任意嵌套且网格趋于 $0$ 的分割；
• 用振幅函数 $\omega_k:=\psi_k-\varphi_k$ 研究上下和之差；
• 从本证明继续推出 Lebesgue 判别准则；
• 将区间推广到 $\mathbb R^d$ 中的矩形；
• 比较正常 Riemann 积分、反常 Riemann 积分和绝对 Lebesgue 可积性。

六、变式练习

七、复习定位