Egorov定理及其证明

一、直观图景：把不同速度的尾巴剪掉

对固定精度 $\varepsilon>0$，定义

$$E_n(\varepsilon) =\{x\in E:|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon\}.$$

它记录第 $n$ 项仍未进入误差带的点。进一步令

$$A_j(\varepsilon) :=\bigcup_{n=j}^{\infty}E_n(\varepsilon),$$

它记录“从第 $j$ 项以后，至少还会有一次误差达到 $\varepsilon$”的点。

随着 $j$ 增大，

$$A_1(\varepsilon)\supseteq A_2(\varepsilon)\supseteq\cdots.$$

几乎处处收敛说明，永远留在这些尾部坏点集中的点只有零测集；有限测度再把集合意义上的缩小转化为

$$m(A_j(\varepsilon))\longrightarrow0.$$

二、四种收敛概念

逐点收敛要求极限对每个 $x\in E$ 成立，不允许预先排除零测集。

一致收敛要求

$$\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|\longrightarrow0.$$

若对每个 $\delta>0$，都存在可测集 $E_\delta\subseteq E$，使

$$m(E_\delta)\leq\delta$$

且 $f_n$ 在 $E\setminus E_\delta$ 上一致收敛于 $f$，则称 $f_n$ 近一致收敛于 $f$。

三、尾部坏点集引理

第一步：尾部坏点集递减

固定 $\varepsilon>0$，记

$$A_j(\varepsilon) :=\bigcup_{n=j}^{\infty}E_n(\varepsilon).$$

去掉最前面的坏点集只会使并集缩小，所以

$$A_{j+1}(\varepsilon)\subseteq A_j(\varepsilon).$$

第二步：交集是误差超标无穷多次的点

$$\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j(\varepsilon) = \bigcap_{j=1}^{\infty} \bigcup_{n=j}^{\infty}E_n(\varepsilon) =\limsup_{n\to\infty}E_n(\varepsilon).$$

若 $x$ 属于该集合，则对任意 $j$，都能找到 $n\geq j$ 使

$$|f_n(x)-f(x)|\geq\varepsilon.$$

误差超标发生无穷多次，所以 $f_n(x)$ 不可能收敛到 $f(x)$。因此

$$\limsup_{n\to\infty}E_n(\varepsilon) \subseteq \{x\in E:f_n(x)\not\to f(x)\}.$$

由几乎处处收敛，

$$m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j(\varepsilon)\right)=0.$$

第三步：使用测度从上连续性

因为

$$A_1(\varepsilon)\subseteq E, \qquad m(E)<\infty,$$

所以 $m(A_1(\varepsilon))<\infty$。对递减可测集合列应用测度从上连续性，

$$\lim_{j\to\infty}m(A_j(\varepsilon)) = m\left(\bigcap_{j=1}^{\infty}A_j(\varepsilon)\right) =0.$$

引理得证。

四、Egorov定理

五、Egorov定理的逐步证明

固定任意 $\delta>0$。

1. 把所有精度离散成 $1/i$

只需要控制可数个精度

$$\varepsilon_i=\frac1i,\qquad i=1,2,\ldots,$$

因为对任意 $\varepsilon>0$，总能选到 $i$ 使 $1/i<\varepsilon$。

2. 为每个精度分配测度预算

由尾部坏点集引理，

$$\lim_{j\to\infty} m\left( \bigcup_{n=j}^{\infty}E_n\left(\frac1i\right) \right)=0.$$

因此对每个 $i$，可以选取正整数 $j_i$，使

$$m\left( \bigcup_{n=j_i}^{\infty}E_n\left(\frac1i\right) \right) < \frac{\delta}{2^i}.$$

3. 合并所有精度的坏点

定义

$$E_\delta := \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcup_{n=j_i}^{\infty} E_n\left(\frac1i\right).$$

它是可数个可测集的并，因而可测。

4. 控制总测度

由次可数可加性，

$$\begin{aligned} m(E_\delta) &\leq \sum_{i=1}^{\infty} m\left( \bigcup_{n=j_i}^{\infty} E_n\left(\frac1i\right) \right)\\ &< \sum_{i=1}^{\infty}\frac{\delta}{2^i} =\delta. \end{aligned}$$

5. 写出好点集

由德 Morgan 律，

$$\begin{aligned} E\setminus E_\delta &= \bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{n=j_i}^{\infty} \left(E\setminus E_n\left(\frac1i\right)\right)\\ &= \bigcap_{i=1}^{\infty} \bigcap_{n=j_i}^{\infty} \left\{ x\in E: |f_n(x)-f(x)|<\frac1i \right\}. \end{aligned}$$

因此，对任意 $x\in E\setminus E_\delta$、任意 $i$ 以及所有 $n\geq j_i$，都有

$$|f_n(x)-f(x)|<\frac1i.$$

这里的 $j_i$ 只依赖于精度，不依赖于 $x$。

6. 完成一致收敛量词

任取 $\varepsilon>0$，选择 $i$ 使 $1/i<\varepsilon$，并令

$$N:=j_i.$$

则对所有 $x\in E\setminus E_\delta$ 以及所有 $n\geq N$，

$$|f_n(x)-f(x)| <\frac1i <\varepsilon.$$

因此 $f_n$ 在 $E\setminus E_\delta$ 上一致收敛于 $f$。

六、例子：$x^n$ 近一致但不一致

在 $[0,1]$ 上令

$$f_n(x)=x^n,$$

并定义

$$f(x)= \begin{cases} 0,&0\leq x<1,\\ 1,&x=1. \end{cases}$$

若 $0\leq x<1$，则 $x^n\to0$；在 $x=1$ 处始终有 $x^n=1$，所以 $f_n\to f$ 处处。

但

$$\sup_{0\leq x<1}x^n=1,$$

故

$$\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|=1$$

对每个 $n$ 都成立，原集合上不一致收敛。

图像上，$y=x^n$ 在 $[0,1)$ 的大部分区域越来越贴近横轴，却在 $x=1$ 附近形成越来越窄、越来越陡的边界层。最大误差始终藏在靠近 $1$ 的位置。

给定 $0<\delta<1$，删除

$$E_\delta=(1-\delta,1).$$

在剩余集合 $[0,1-\delta]\cup\{1\}$ 上，

$$\sup_{x\in[0,1]\setminus E_\delta} |f_n(x)-f(x)| \leq(1-\delta)^n \longrightarrow0.$$

这正是 Egorov 定理的几何图景：删去边界附近任意窄的一层，剩余部分获得统一收敛速度。

七、有限测度条件不能删除

在 $E=(0,\infty)$ 上考虑

$$f_n(x):=\chi_{(0,n)}(x).$$

对每个固定 $x>0$，当 $n>x$ 时 $f_n(x)=1$，所以 $f_n(x)\to1$。

任取有限测度集合 $N\subseteq(0,\infty)$，其补集仍有无限测度，因而无界。对每个 $n$，可以找到 $x_n>n$ 且 $x_n\notin N$。于是

$$f_n(x_n)=0,\qquad f(x_n)=1,$$

从而

$$\sup_{x\in(0,\infty)\setminus N} |f_n(x)-1|=1.$$

无论删去哪一个有限测度集合，都不能在剩余集合上得到一致收敛。

八、无限测度情形还能保留什么

设 $m(E)=\infty$ 且 $f_n\to f$ 几乎处处。

1. 任意大的有限测度子集

给定 $M>0$。因为

$$E\cap[-R,R]^d\uparrow E,$$

可取充分大的 $R$，使

$$m(E\cap[-R,R]^d)>M+1.$$

在这个有限测度集合上应用 Egorov 定理，删除测度小于 $1$ 的坏点集，便得到 $E_M\subseteq E$，满足

$$m(E_M)>M,$$

且 $f_n$ 在 $E_M$ 上一致收敛。

2. 可数个一致收敛集合覆盖几乎所有点

令

$$Q_r=E\cap[-r,r]^d.$$

对每个 $r,\ell\geq1$，在 $Q_r$ 上应用 Egorov 定理，取 $B_{r,\ell}\subseteq Q_r$，使

$$m(Q_r\setminus B_{r,\ell})<2^{-\ell},$$

且 $f_n$ 在 $B_{r,\ell}$ 上一致收敛。再令

$$C_{r,N}:=\bigcap_{\ell=N}^{\infty}B_{r,\ell}.$$

由于 $C_{r,N}\subseteq B_{r,N}$，$f_n$ 在 $C_{r,N}$ 上一致收敛。又因为

$$\sum_{\ell=1}^{\infty} m(Q_r\setminus B_{r,\ell})<\infty,$$

由 Borel—Cantelli 引理，

$$m\left( Q_r\setminus\bigcup_{N=1}^{\infty}C_{r,N} \right)=0.$$

枚举所有 $C_{r,N}$，得到可测集列 $\{E_i\}$，满足

$$m\left(E\setminus\bigcup_{i=1}^{\infty}E_i\right)=0,$$

且 $f_n$ 在每个 $E_i$ 上一致收敛。

九、一致有界也不能替代有限测度

在 $\mathbb{R}$ 上定义

$$f_n(x):= \chi_{(-\infty,-n]\cup[n,\infty)}(x).$$

则 $|f_n(x)|\leq1$，且对每个固定 $x$，当 $n>|x|$ 时 $f_n(x)=0$，所以 $f_n(x)\to0$ 处处成立。

然而，若 $A\subseteq\mathbb{R}$ 无界，则对每个 $n$ 都存在 $x_n\in A$ 使 $|x_n|\geq n$。于是

$$f_n(x_n)=1, \qquad \sup_{x\in A}|f_n(x)|=1.$$

因此 $f_n$ 不在任何无界子集上一致收敛。函数列的一致有界性只控制函数值高度，不能阻止坏点向空间无穷远移动。

十、方法提炼

题型识别

• 已知 $f_n\to f$ 几乎处处，目标是在删去小集合后得到一致收敛；
• 出现误差集合 $\{|f_n-f|\geq\varepsilon\}$；
• 需要把依赖于 $x$ 的 $N(x,\varepsilon)$ 改造成统一的 $N(\varepsilon)$；
• 条件中强调 $m(E)<\infty$；
• 需要构造测度不超过 $\delta$ 的例外集。

标准证明流程

1. 定义 $E_n(\varepsilon)=\{|f_n-f|\geq\varepsilon\}$；
2. 定义尾部坏点集 $A_j(\varepsilon)=\bigcup_{n=j}^{\infty}E_n(\varepsilon)$；
3. 用几乎处处收敛证明 $\bigcap_jA_j(\varepsilon)$ 为零测集；
4. 用有限测度和从上连续性证明 $m(A_j(\varepsilon))\to0$；
5. 选 $j_i$ 使 $m(A_{j_i}(1/i))<\delta/2^i$；
6. 合并 $E_\delta=\bigcup_iA_{j_i}(1/i)$；
7. 用次可数可加性控制总测度；
8. 在补集上先选 $1/i<\varepsilon$，再令 $N=j_i$。

常见变体

• 把 $1/i$ 换成 $2^{-i}$ 或任意趋于 $0$ 的正数列；
• 把 $\delta/2^i$ 换成任意总和不超过 $\delta$ 的正数列；
• 在无限测度集合上先限制到有限测度子集；
• 用移动峰、移动区间或边界层构造有限测度条件不可删除的反例。

十一、变式练习