Lebesgue微分定理

一、差商就是单侧局部平均

1. 右差商

当 $h>0$ 时，由积分的可加性，

$$\begin{aligned} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} &= \frac{\displaystyle\int_a^{x+h}f(t)\,dt-\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt}{h}\\ &= \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt. \end{aligned}$$

记 $I_h=(x,x+h)$，则 $|I_h|=h$，所以

$$\boxed{ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{|I_h|}\int_{I_h}f(t)\,dt }.$$

右边正是 $f$ 在右侧小区间上的平均值。

2. 左差商

当 $h<0$ 时，

$$\int_x^{x+h}f(t)\,dt =-\int_{x+h}^{x}f(t)\,dt, \qquad h=-|h|,$$

故

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{|h|}\int_{x+h}^{x}f(t)\,dt.$$

它是左侧小区间上的平均值。若左右两侧的局部平均都趋于 $f(x)$，就得到 $F'(x)=f(x)$。

二、直观图景：移动窗口平均

把 $f$ 的图像想成一条高低起伏的曲线，在 $x$ 旁放一个长度为 $h$ 的取样窗口：

                 f(t)
                  ^
                  |       /\
                  |   ___/  \__
------------------x----x+h--------------> t
                  <------>
                   长度 h

积分 $\int_x^{x+h}f(t)\,dt$ 是窗口下方的有符号面积；除以窗口宽度后，

$$\text{平均高度} = \frac{\text{有符号面积}}{\text{窗口宽度}} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

随着 $h\to0$，窗口越来越窄。Lebesgue 微分定理说明：对局部可积函数，几乎每个点都是能够被这种局部平均正确识别的“正常点”。

三、连续点情形：初等证明

设 $f$ 在 $x$ 连续。给定 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使

$$|y-x|<\delta \Longrightarrow |f(y)-f(x)|<\varepsilon.$$

取包含 $x$ 且充分小的球 $B$。对球而言，

$$m(B)=\omega_d r^d, \qquad \operatorname{diam}(B)=2r,$$

所以 $m(B)\to0$ 等价于直径趋于 $0$。当 $B$ 足够小时，每个 $y\in B$ 都满足 $|y-x|<\delta$。于是

$$\begin{aligned} \left| \frac{1}{m(B)}\int_B f(y)\,dy-f(x) \right| &= \left| \frac{1}{m(B)} \int_B\bigl(f(y)-f(x)\bigr)\,dy \right|\\ &\leq \frac{1}{m(B)} \int_B|f(y)-f(x)|\,dy\\ &< \frac{1}{m(B)} \int_B\varepsilon\,dy\\ &=\varepsilon. \end{aligned}$$

因此

$$\boxed{ \lim_{\substack{m(B)\to0\\B\ni x}} \frac{1}{m(B)}\int_Bf(y)\,dy =f(x) }.$$

四、为什么自然条件是局部可积

称 $f$ 局部可积，记作

$$f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d),$$

若对每个有界开球 $B\subseteq\mathbb R^d$，

$$\int_B|f(y)|\,dy<\infty.$$

这不要求 $\int_{\mathbb R^d}|f|<\infty$。例如 $f\equiv1$ 属于 $L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$，但不属于 $L^1(\mathbb R^d)$。

固定包含 $x$ 的大球 $B_0$，令 $g=f\chi_{B_0}$。当小球 $B\ni x$ 足够小时，$B\subseteq B_0$，从而

$$\frac{1}{m(B)}\int_Bg(y)\,dy = \frac{1}{m(B)}\int_Bf(y)\,dy.$$

修改 $B_0$ 外的函数值不会影响 $x$ 处的局部平均极限。微分是局部概念，因此 $L^1_{\mathrm{loc}}$ 正是自然假设。

五、Lebesgue微分定理

更能揭示本质的常用形式是

$$\boxed{ \lim_{r\downarrow0} \frac{1}{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)|\,dy =0 } \qquad\mathrm{a.e.}\ x.$$

满足这个式子的点称为 $f$ 的 Lebesgue 点。由积分三角不等式，

$$\begin{aligned} \left| \frac{1}{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)}f(y)\,dy-f(x) \right| &\leq \frac{1}{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)|\,dy. \end{aligned}$$

右端趋于 $0$，左端也趋于 $0$。

六、微积分基本定理的 Lebesgue 版本

令

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, \qquad f\in L^1([a,b]).$$

对 $h>0$，

$$\left| \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt-f(x) \right| \leq \frac{1}{h}\int_x^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt.$$

右侧单侧区间可放入中心区间 $(x-h,x+h)$，于是

$$\frac{1}{h}\int_x^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt \leq 2\cdot \frac{1}{2h}\int_{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt.$$

在 Lebesgue 点处，右端趋于 $0$，所以

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt \longrightarrow f(x).$$

左侧同理，从而

$$\boxed{ F'(x)=f(x) \qquad\mathrm{a.e.}\ x\in[a,b]. }$$

这就是变上限 Lebesgue 积分微分定理背后的机制。

七、“用平均值估计 $f(x)$”的准确含义

对固定的 $h\neq0$，

$$A_hf(x):=\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,dt$$

一般不等于 $f(x)$，只是一个局部平均近似。真正成立的是

$$\lim_{h\to0}A_hf(x)=f(x) \qquad\mathrm{a.e.}\ x.$$

因此更准确的表述是：

以不断缩小的局部平均逼近，并在 Lebesgue 点处恢复 $f(x)$。

八、为什么只能说“几乎处处”

1. 跳跃函数

令 $f=\chi_{[0,\infty)}$。在 $x=0$ 处，右平均为 $1$，左平均为 $0$，而对称平均为

$$\frac{1}{2r}\int_{-r}^{r}f(t)\,dt =\frac12.$$

所以 $0$ 不是 Lebesgue 点。但单点集测度为 $0$，不影响几乎处处的结论。

2. 有理数示性函数

令 $f=\chi_{\mathbb Q}$。由于 $\mathbb Q$ 是零测集，对任意球 $B$，

$$\int_Bf(y)\,dy=0.$$

所有局部平均都为 $0$：它在无理点等于 $f(x)$，但在有理点不等于 $f(x)=1$。失败点正是零测集 $\mathbb Q$。

这个例子也说明：$L^1$ 函数本质上是几乎处处相等的等价类，零测集上的代表值不能由积分唯一恢复。

九、结论层次对照

条件	局部平均结论	成立范围
$f$ 在 $x$ 连续	平均值趋于 $f(x)$	该点
$f$ 处处连续	平均值趋于 $f(x)$	处处
$f\in L^1_{\mathrm{loc}}$	平均值趋于 $f(x)$	几乎处处
$x$ 是 Lebesgue 点	平均绝对偏差趋于 $0$	该点
固定小球或小区间	只得到局部平均	通常不等于点值

十、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

• 出现变上限积分 $F(x)=\int_a^xf$；
• 要证明或理解 $F'(x)=f(x)$；
• 出现 $\frac{1}{m(B)}\int_Bf$ 且 $B$ 不断缩小；
• 条件只有 $L^1$ 或 $L^1_{\mathrm{loc}}$，没有连续性；
• 结论中出现 “a.e.”、Lebesgue 点或局部平均。

标准思考流程

1. 用积分可加性把 $F(x+h)-F(x)$ 化为 $\int_x^{x+h}f$；
2. 除以 $h$，识别为单侧局部平均；
3. 连续点处用 $\varepsilon$-$\delta$ 与积分三角不等式；
4. 一般局部可积函数使用 Lebesgue 微分定理；
5. 检查结论是处处成立还是几乎处处成立；
6. 检查使用的是中心球、包含 $x$ 的球，还是以 $x$ 为端点的单侧区间。

常见变体

• 用立方体代替球；
• 用对称区间代替单侧区间；
• 研究平均绝对偏差；
• 从局部平均推出变上限积分几乎处处可微；
• 讨论修改零测集上的代表值是否影响结论。

十一、变式练习

十二、前置知识与延伸阅读

• 前置：Lebesgue 积分、零测集、几乎处处、积分三角不等式；
• 后续：Hardy–Littlewood 极大函数、Vitali 覆盖引理、绝对连续函数、Sobolev 函数的精确代表；
• 站内关联：可积性的两个重要推论、Riemann 可积和 Lebesgue 可积的关系、黎曼可积和连续的关系。