H-L极大不等式和Vitali定理

一、H-L极大函数

设 $f$ 在 $\mathbb R^d$ 上可测。对 $x\in\mathbb R^d$，定义非中心 Hardy—Littlewood 极大函数

$$\boxed{ f^*(x):= \sup_{B\ni x} \frac1{m(B)}\int_B|f(y)|\,dy },$$

其中上确界遍历所有包含 $x$ 的开球。若只假设 $f$ 可测，上式允许取 $+\infty$；当 $f\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R^d)$ 时，每个有界球上的积分有限。

可测性

对任意 $\alpha\in\mathbb R$，令

$$E_\alpha:=\{x:f^*(x)>\alpha\}.$$

任取 $x\in E_\alpha$。由上确界定义，存在包含 $x$ 的开球 $B$，使

$$\frac1{m(B)}\int_B|f(y)|\,dy>\alpha.$$

因为 $B$ 开，存在 $\varepsilon>0$ 使 $B_\varepsilon(x)\subseteq B$。若 $z\in B_\varepsilon(x)$，同一只 $B$ 也包含 $z$，故

$$f^*(z) \geq \frac1{m(B)}\int_B|f(y)|\,dy >\alpha.$$

所以 $B_\varepsilon(x)\subseteq E_\alpha$，即 $E_\alpha$ 是开集。因此

$$\boxed{f^*\text{ 可测，而且是下半连续函数}.}$$

二、三倍球几何引理

取 $z\in B\cap B'$。任取 $y\in B'$，由三角不等式，

$$\begin{aligned} |x-y| &\leq |x-x'|+|x'-y|\\ &\leq |x-z|+|z-x'|+|x'-y|\\ &<r+r'+r'\\ &\leq3r. \end{aligned}$$

所以 $y\in B_{3r}(x)$。由于 $y\in B'$ 任意，得到 $B'\subseteq B_{3r}(x)$。

几何上，从大球球心 $x$ 走到小球球心 $x'$ 最多接近 $r+r'$，再走到小球远端还需 $r'$，总距离小于 $r+2r'\leq3r$。

三、有限Vitali覆盖引理

1. 贪心选球

令 $\mathcal F_0:=\mathcal F$。从 $\mathcal F_0$ 中选半径最大的球 $B_{i_1}$，删除所有与它相交的球，记

$$\mathcal F_1 :=\{B\in\mathcal F_0:B\cap B_{i_1}=\varnothing\}.$$

若 $\mathcal F_1$ 非空，再从中选半径最大的球 $B_{i_2}$，继续删除所有与它相交的球。原球族有限，且球数每一步严格减少，因此有限步后停止：

$$\mathcal F=mathcal F_0 \supsetneqq\mathcal F_1 \supsetneqq\cdots \supsetneqq\mathcal F_k=\varnothing.$$

2. 选出的球两两不交

若 $j_1<j_2$，则 $B_{i_{j_2}}$ 是从 $\mathcal F_{j_2-1}\subseteq\mathcal F_{j_1}$ 中选出的，而 $\mathcal F_{j_1}$ 只保留与 $B_{i_{j_1}}$ 不交的球。因此

$$B_{i_{j_2}}\cap B_{i_{j_1}}=\varnothing.$$

3. 三倍代表球覆盖原球族

任取 $B\in\mathcal F$。它在某一步因与代表球 $B_{i_j}$ 相交而被删除。由于 $B_{i_j}$ 是当时半径最大的剩余球，

$$r(B)\leq r(B_{i_j}).$$

三倍球引理给出 $B\subseteq3B_{i_j}$。所以

$$\bigcup_{i=1}^N B_i \subseteq \bigcup_{j=1}^k3B_{i_j}.$$

利用测度的次可加性和 $m(3B)=3^dm(B)$，

$$\begin{aligned} m\left(\bigcup_{i=1}^N B_i\right) &\leq m\left(\bigcup_{j=1}^k3B_{i_j}\right)\\ &\leq\sum_{j=1}^k m(3B_{i_j})\\ &=3^d\sum_{j=1}^k m(B_{i_j}). \end{aligned}$$

四、H-L极大不等式

令 $E_\alpha:=\{x:f^*(x)>\alpha\}$。对每个 $x\in E_\alpha$，选取开球 $B_x\ni x$，使

$$\frac1{m(B_x)}\int_{B_x}|f(y)|\,dy>\alpha,$$

即

$$\boxed{ m(B_x)<\frac1\alpha\int_{B_x}|f(y)|\,dy }.$$

1. 先估计紧子集

不能直接说整个 $E_\alpha$ 有有限子覆盖，因为它未必紧。任取紧集 $K\subseteq E_\alpha$。由有限覆盖性质，可取

$$K\subseteq\bigcup_{i=1}^N B_i,$$

其中每只 $B_i$ 都是上述见证球。

2. Vitali选球与积分合并

应用有限 Vitali 引理，选出两两不交的 $B_{i_1},\dots,B_{i_k}$，于是

$$\begin{aligned} m(K) &\leq m\left(\bigcup_{i=1}^N B_i\right)\\ &\leq3^d\sum_{j=1}^k m(B_{i_j})\\ &<\frac{3^d}{\alpha} \sum_{j=1}^k\int_{B_{i_j}}|f(y)|\,dy. \end{aligned}$$

因为代表球两两不交，

$$\begin{aligned} \sum_{j=1}^k\int_{B_{i_j}}|f(y)|\,dy &=\int_{\bigcup_{j=1}^kB_{i_j}}|f(y)|\,dy\\ &\leq\int_{\mathbb R^d}|f(y)|\,dy =\lVert f\rVert_1. \end{aligned}$$

所以

$$m(K)\leq\frac{3^d}{\alpha}\lVert f\rVert_1.$$

3. 用内正则性回到整个上水平集

$E_\alpha$ 是开集。Lebesgue 测度的内正则性给出

$$m(E_\alpha) = \sup\{m(K):K\subseteq E_\alpha,\ K\text{ 为紧集}\}.$$

对紧集 $K$ 取上确界，得到

$$\boxed{ m(E_\alpha) \leq \frac{3^d}{\alpha}\lVert f\rVert_1 }.$$

五、弱型（1,1）与几乎处处有限

极大不等式等价于

$$\sup_{\alpha>0} \alpha\,m(\{f^*>\alpha\}) \leq3^d\lVert f\rVert_1.$$

这说明极大算子把 $L^1$ 有界地映入弱 $L^1$：

$$M:L^1(\mathbb R^d)\longrightarrow L^{1,\infty}(\mathbb R^d).$$

它不意味着 $\lVert f^*\rVert_1\leq C\lVert f\rVert_1$；H-L 极大算子一般不具有强型 $(1,1)$ 有界性。

令 $A:=\{x:f^*(x)=\infty\}$。对每个 $n\in\mathbb N$，

$$A\subseteq\{f^*>n\},$$

故

$$m(A) \leq\frac{3^d}{n}\lVert f\rVert_1.$$

令 $n\to\infty$，得到

$$\boxed{f^*(x)<\infty\quad\text{a.e. }x\in\mathbb R^d.}$$

六、通向Lebesgue微分定理

H-L 极大不等式是把“规则函数成立”推广到“所有局部可积函数几乎处处成立”的误差控制器。证明 Lebesgue 微分定理时，先用连续函数或光滑函数逼近 $f$，再把误差 $f-g$ 的局部平均控制为 $(f-g)^*(x)$。

弱型估计说明：只要 $\lVert f-g\rVert_1$ 很小，$(f-g)^*$ 很大的点集测度也很小。于是“范数中的小误差”被转化为“除去一个小测度坏集后的逐点控制”。

七、方法提炼：一题通一类

常见变体

1. 把球换成立方体，覆盖常数随几何改变；
2. 使用中心或非中心极大函数；
3. 由弱型 $(1,1)$ 与 $L^\infty$ 有界性插值得到 $1<p\leq\infty$ 的强型估计；
4. 在倍增度量测度空间中建立极大不等式；
5. 用极大函数控制卷积逼近与微分定理中的误差。

八、变式训练