本文整理自《实分析》学习笔记“σ-代数简单介绍”，并补充定义动机、严格推导与辨析练习。

一、严格定义

这里要分清对象的层次：x∈Xx\in X 是点，A⊆XA\subseteq X 是集合，而 A⊆P(X)\mathcal A\subseteq\mathcal P(X) 是“集合组成的集合”。

二、为什么恰好是这三条？

1. 空集：保证最基本的可测对象存在

空集表示“不可能事件”或“没有任何点的区域”，应满足 μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0。要求 ∅∈A\varnothing\in\mathcal A 也排除了空集合族这种没有任何可测对象的情形。

2. 补集：允许对事件作否定

若 AA 表示一个可测事件，则 AcA^c 表示“AA 不发生”。可测性应该在这种逻辑否定下保持稳定。

3. 可数并：允许可数个事件作“或者”

⋃n=1∞An\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n 表示可数个事件中至少一个发生。之所以不是只要求有限并，是因为实分析经常通过集合序列的极限产生新集合。例如

(−1,1)=⋃n=2∞[−1+1n, 1−1n].(-1,1)=\bigcup_{n=2}^{\infty} \left[-1+\frac1n,\,1-\frac1n\right].

只对有限并封闭不足以保证这类极限集合可测。另一方面，要求对任意并封闭通常过强；“可数”恰好对应数列、极限以及测度的可数可加性。

三、由定义推出的基本性质

1. 全集属于 A\mathcal A

由空集可测和补集封闭，

X=∅c∈A.X=\varnothing^c\in\mathcal A.

2. 对可数交封闭

设对每个 n∈Nn\in\mathbb N 都有 An∈AA_n\in\mathcal A。逐步使用三条性质：

An∈A⟹Anc∈A⟹⋃n=1∞Anc∈A.A_n\in\mathcal A \Longrightarrow A_n^c\in\mathcal A \Longrightarrow \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\in\mathcal A.

再由德摩根律和补集封闭，

⋂n=1∞An=(⋃n=1∞Anc)c∈A.\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n^c\right)^c \in\mathcal A.

因此，定义中不必重复要求“对可数交封闭”。

3. 对有限并、有限交和差集封闭

有限并可以通过在后面补空集写成可数并；有限交由德摩根律得到。又因为

A∖B=A∩Bc,A\setminus B=A\cap B^c,

所以 A,B∈AA,B\in\mathcal A 时也有 A∖B∈AA\setminus B\in\mathcal A。

四、四个基本例子

例 1：最小 σ-代数

{∅,X}\{\varnothing,X\}

是 XX 上最小的 σ-代数。它只能区分“不发生”和“结果落在整个 XX 中”。

例 2：最大 σ-代数

P(X)\mathcal P(X)

是 XX 上最大的 σ-代数，因为 XX 的每个子集都被纳入其中。

例 3：Borel σ-代数

记

B(Rd)=σ({U⊆Rd:U 为开集}),\mathcal B(\mathbb R^d) =\sigma\bigl(\{U\subseteq\mathbb R^d:U\text{ 为开集}\}\bigr),

它表示包含 Rd\mathbb R^d 中所有开集的最小 σ-代数，其中的元素称为 Borel 集。

因为 σ-代数对可数并和可数交封闭，所以 Borel 集包括：

  • GδG_\delta 集：开集的可数交；
  • FσF_\sigma 集：闭集的可数并。

例 4：Lebesgue 可测集族

记 L(Rd)\mathcal L(\mathbb R^d) 为 Rd\mathbb R^d 中全体 Lebesgue 可测集组成的 σ-代数。后续将证明

B(Rd)⊊L(Rd)⊊P(Rd).\mathcal B(\mathbb R^d) \subsetneq \mathcal L(\mathbb R^d) \subsetneq \mathcal P(\mathbb R^d).

第一处严格包含说明存在不是 Borel 集的 Lebesgue 可测集；第二处严格包含说明并非每个实数子集都能赋予符合要求的 Lebesgue 测度。

五、常见误区

六、方法提炼

判断集合族 A\mathcal A 是否为 σ-代数时，依次检查：

  1. ∅∈A\varnothing\in\mathcal A；
  2. 任取 A∈AA\in\mathcal A，验证 Ac∈AA^c\in\mathcal A；
  3. 任取集合列 (An)n≥1⊆A(A_n)_{n\ge1}\subseteq\mathcal A，验证 ⋃n=1∞An∈A\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathcal A。

要证明它不是 σ-代数，只需构造一个反例，使上述任意一条失败。

七、变式练习