资料来源：Lec03.pdf，第 20—21 页（PDF 第 1—2 页）

鼓包函数解决的核心矛盾是：我们既希望函数只在一个有限区域内起作用，又不能像使用示性函数那样在边界处突然跳变。它可以被看成一个“边缘经过无限次打磨的开关”：内部完全打开，外部完全关闭，中间用一条无限光滑的过渡带连接。

一、目标与基本概念

对于函数 f ⁣:Rn→Rf\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}，其支集定义为

supp⁡(f)={x∈Rn:f(x)≠0}‾.\operatorname{supp}(f) =\overline{\left\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)\neq 0\right\}}.

若 supp⁡(f)\operatorname{supp}(f) 是紧集，就称 ff 为紧支函数。欧氏空间中的闭且有界集合是紧集，因此只要一个光滑函数在某个有界闭球之外恒为零，它就是紧支光滑函数，也称为鼓包函数或测试函数。

本节要构造一个 f3∈Cc∞(Rn)f_3\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)，使它满足

0≤f3≤1,f3∣B1(0)‾≡1,supp⁡(f3)=B2(0)‾.0\leq f_3\leq 1,\qquad f_3\big|_{\overline{B_1(0)}}\equiv 1,\qquad \operatorname{supp}(f_3)=\overline{B_2(0)}.

这里 Br(a)={x∈Rn:∥x−a∥<r}B_r(a)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-a\|<r\}。

二、思路溯源：为什么会想到三步构造

1. 直接截断为什么失败

如果直接令函数在球内等于 11、球外等于 00，那么它会在球面上跳跃，甚至不连续。若改成分段线性过渡，函数虽然连续，却会在拼接点出现尖角，仍然不可微。

因此，问题真正的信号不是“找一个衰减函数”，而是：

要找一个在截断边界处不仅函数值为零，而且所有阶导数也都为零的函数。

这种性质称为在边界处无限阶平坦。它使零函数与非零函数可以无缝粘接。

2. 构造路线

讲义采用下面的三步转化：

无限阶平坦的半轴函数 f1⟶从 0 到 1 的平滑阶跃 f2⟶径向鼓包 f3.\text{无限阶平坦的半轴函数 }f_1 \longrightarrow \text{从 }0\text{ 到 }1\text{ 的平滑阶跃 }f_2 \longrightarrow \text{径向鼓包 }f_3.

第一步解决“怎样光滑地从零出发”；第二步解决“怎样得到精确的 00 与 11”；第三步把一维开关推广到 Rn\mathbb{R}^n。

三、逐步推导

第一步：构造无限阶平坦的基础函数 f1f_1

定义

f1(t)={e−1/t,t>0,0,t≤0.f_1(t)= \begin{cases} e^{-1/t},&t>0,\\ 0,&t\leq 0. \end{cases}

1. 为什么选 e−1/te^{-1/t}

当 t→0+t\to 0^+ 时，1/t→+∞1/t\to +\infty，指数衰减 e−1/te^{-1/t} 比任意幂次 tmt^m 都快。令 u=1/tu=1/t，则对任意整数 m≥0m\geq 0，

lim⁡t→0+t−me−1/t=lim⁡u→+∞ume−u=0.\lim_{t\to 0^+}t^{-m}e^{-1/t} =\lim_{u\to+\infty}u^m e^{-u} =0.

这条极限是整个构造的发动机：无论求导产生多高次的 1/t1/t，指数衰减都能把它压回零。

2. 验证 t=0t=0 处的光滑性

在 t>0t>0 时反复使用链式法则，可以归纳得到

f1(k)(t)=e−1/tPk ⁣(1t),f_1^{(k)}(t)=e^{-1/t}P_k\!\left(\frac{1}{t}\right),

其中 PkP_k 是某个多项式。上面的极限说明

lim⁡t→0+f1(k)(t)=0.\lim_{t\to 0^+}f_1^{(k)}(t)=0.

而在 t<0t<0 时 f1f_1 恒为零，所有阶导数也恒为零。因此左右两侧的各阶导数都能在 t=0t=0 处以数值 00 拼接，故

f1∈C∞(R),f1(k)(0)=0(k=0,1,2,…).f_1\in C^\infty(\mathbb{R}),\qquad f_1^{(k)}(0)=0\quad(k=0,1,2,\ldots).

第二步：归一化成平滑阶跃函数 f2f_2

定义

f2(t)=f1(t)f1(t)+f1(1−t).f_2(t)=\frac{f_1(t)}{f_1(t)+f_1(1-t)}.

1. 分母为什么不会为零

若 f1(t)=0f_1(t)=0，则 t≤0t\leq 0；若 f1(1−t)=0f_1(1-t)=0，则 t≥1t\geq 1。这两个条件不可能同时成立，所以

f1(t)+f1(1−t)>0f_1(t)+f_1(1-t)>0

对所有 t∈Rt\in\mathbb{R} 都成立。因而 f2f_2 是全局定义的光滑函数。

2. 分区间判断函数值

由 f1f_1 的定义：

f2(t)={0,t≤0,f1(t)f1(t)+f1(1−t),0<t<1,1,t≥1.f_2(t)= \begin{cases} 0,&t\leq 0,\\ \dfrac{f_1(t)}{f_1(t)+f_1(1-t)},&0<t<1,\\ 1,&t\geq 1. \end{cases}

因此

0≤f2(t)≤1,f2(1−t)=1−f2(t).0\leq f_2(t)\leq 1,\qquad f_2(1-t)=1-f_2(t).

函数 f2f_2 就是一个没有尖角的开关：在 (−∞,0](-\infty,0] 上完全关闭，在 [1,+∞)[1,+\infty) 上完全打开，只在 (0,1)(0,1) 内平滑过渡。

第三步：用半径构造 Rn\mathbb{R}^n 上的鼓包函数 f3f_3

对 x∈Rnx\in\mathbb{R}^n 定义

f3(x)=f2(2−∥x∥).f_3(x)=f_2\bigl(2-\|x\|\bigr).

根据 ∥x∥\|x\| 的大小分类：

f3(x)={1,∥x∥≤1,f2(2−∥x∥),1<∥x∥<2,0,∥x∥≥2.f_3(x)= \begin{cases} 1,&\|x\|\leq 1,\\ f_2\bigl(2-\|x\|\bigr),&1<\|x\|<2,\\ 0,&\|x\|\geq 2. \end{cases}

理由如下：

  1. 若 ∥x∥≤1\|x\|\leq 1，则 2−∥x∥≥12-\|x\|\geq 1，所以 f3(x)=1f_3(x)=1；
  2. 若 1<∥x∥<21<\|x\|<2，则 0<2−∥x∥<10<2-\|x\|<1，函数处于平滑过渡带；
  3. 若 ∥x∥≥2\|x\|\geq 2，则 2−∥x∥≤02-\|x\|\leq 0，所以 f3(x)=0f_3(x)=0。

于是

{x:f3(x)≠0}=B2(0),\left\{x:f_3(x)\neq 0\right\}=B_2(0),

从而

supp⁡(f3)=B2(0)‾.\operatorname{supp}(f_3)=\overline{B_2(0)}.

由 Heine—Borel 定理，B2(0)‾\overline{B_2(0)} 在 Rn\mathbb{R}^n 中是紧集，因此 f3f_3 是紧支函数。

关键检查：∥x∥\|x\| 在原点不可微，为什么 f3f_3 仍然光滑

这是径向构造中最容易漏掉的一点。

  • 在 x≠0x\neq 0 的区域，x↦∥x∥x\mapsto\|x\| 是光滑函数，所以由复合函数的链式法则，f3f_3 光滑；
  • 在原点附近，只要 ∥x∥<1\|x\|<1 就有 f3(x)=1f_3(x)=1，所以 f3f_3 在原点的一个邻域内是常值函数，当然光滑。

因此范数在原点的不可微性没有传递给 f3f_3。真正起保护作用的是鼓包中央的常值平台。

四、对应函数图像与数形理解

欧氏鼓包函数的三步构造

这张图对应三次关键转化：

  1. f1f_1 在 00 的左侧恒为零，右侧从零无限阶平坦地升起；
  2. f2f_2 把这种平坦性复制到区间两端，得到精确连接 00 与 11 的平滑阶跃；
  3. f3f_3 将阶跃反向并关于原点径向展开，形成“中间平、边缘缓、外部零”的鼓包。

二维欧氏空间上的径向鼓包函数

在 R2\mathbb{R}^2 中，等值线都是以原点为圆心的圆：

  • 闭单位圆盘 B1(0)‾\overline{B_1(0)} 内函数恒为 11；
  • 圆环 1<∥x∥<21<\|x\|<2 是平滑下降的过渡带；
  • 闭圆盘 B2(0)‾\overline{B_2(0)} 是支集，圆盘外函数恒为 00。

高维情形完全相同，只需把圆盘和圆环分别换成 nn 维球与球壳。

五、推广：任意中心与任意内外半径

给定中心 a∈Rna\in\mathbb{R}^n 以及 0<r<R0<r<R，定义

φa,r,R(x)=f2 ⁣(R−∥x−a∥R−r).\varphi_{a,r,R}(x) =f_2\!\left(\frac{R-\|x-a\|}{R-r}\right).

则

0≤φa,r,R≤1,φa,r,R∣Br(a)‾≡1,supp⁡(φa,r,R)=BR(a)‾.0\leq\varphi_{a,r,R}\leq 1,\qquad \varphi_{a,r,R}\big|_{\overline{B_r(a)}}\equiv 1,\qquad \operatorname{supp}(\varphi_{a,r,R})=\overline{B_R(a)}.

验证只需观察仿射变量

s(x)=R−∥x−a∥R−r.s(x)=\frac{R-\|x-a\|}{R-r}.
  • 当 ∥x−a∥≤r\|x-a\|\leq r 时，s(x)≥1s(x)\geq 1，所以 φa,r,R(x)=1\varphi_{a,r,R}(x)=1；
  • 当 ∥x−a∥≥R\|x-a\|\geq R 时，s(x)≤0s(x)\leq 0，所以 φa,r,R(x)=0\varphi_{a,r,R}(x)=0。

讲义中的 f3f_3 正是 a=0a=0、r=1r=1、R=2R=2 的特殊情形。

从单个球推广到任意紧集

若 K⊂U⊂RnK\subset U\subset\mathbb{R}^n，其中 KK 紧、UU 开，则可按以下方式构造在 KK 上恒为 11、支集包含于 UU 的鼓包函数：

  1. 对每个 q∈Kq\in K，选取同心球 Brq(q)⊂BRq(q)‾⊂UB_{r_q}(q)\subset\overline{B_{R_q}(q)}\subset U；
  2. 由 KK 的紧致性，从 {Brq(q)}q∈K\{B_{r_q}(q)\}_{q\in K} 中选出有限子覆盖；
  3. 对这些球分别构造局部鼓包 φ1,…,φN\varphi_1,\ldots,\varphi_N；
  4. 令 ψ=∑i=1Nφi\psi=\sum_{i=1}^N\varphi_i，则 ψ≥1\psi\geq 1 于 KK；
  5. 再令 φ=f2∘ψ\varphi=f_2\circ\psi，就有 φ≡1\varphi\equiv 1 于 KK，且 supp⁡(φ)⊂U\operatorname{supp}(\varphi)\subset U。

这体现了鼓包函数最重要的用途：先在局部构造，再借助有限求和与平滑压缩得到整体对象。

六、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

看到下列要求时，应优先想到鼓包函数：

  • “在某个紧集上恒为 11，在稍大的区域外恒为 00”；
  • “要求 C∞C^\infty，同时要求紧支”；
  • “需要平滑截断、局部化或粘接”；
  • “需要测试函数，或积分为 11 的光滑核”。

标准构造流程

平坦函数⟶归一化阶跃⟶距离复合⟶平移与缩放\boxed{ \text{平坦函数} \longrightarrow \text{归一化阶跃} \longrightarrow \text{距离复合} \longrightarrow \text{平移与缩放} }

具体模板是：

  1. 用 e−1/te^{-1/t} 制造边界处所有阶导数都为零的函数；
  2. 用 f1(t)f_1(t) 与 f1(1−t)f_1(1-t) 归一化，得到 [0,1][0,1] 值的平滑阶跃；
  3. 把一维变量替换为到中心的距离；
  4. 通过 r,Rr,R 调节平台半径与支集半径；
  5. 最后检查值域、恒等于 11 的区域、支集和光滑性。

常见变体

不要求中央有一整块平台时，可以直接定义

η(x)={exp⁡ ⁣(−11−∥x∥2),∥x∥<1,0,∥x∥≥1.\eta(x)= \begin{cases} \exp\!\left(-\dfrac{1}{1-\|x\|^2}\right),&\|x\|<1,\\ 0,&\|x\|\geq 1. \end{cases}

它同样属于 Cc∞(Rn)C_c^\infty(\mathbb{R}^n)。若需要积分为 11，再令

η~(x)=η(x)∫Rnη(y) dy.\widetilde{\eta}(x) =\frac{\eta(x)}{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}\eta(y)\,dy}.

易错点清单

  1. 忘记支集要取闭包： f3f_3 的非零集是 B2(0)B_2(0)，支集却是 B2(0)‾\overline{B_2(0)}；
  2. 把有界误当成紧支： 函数值有界不代表支集紧；
  3. 只检查连续性： 鼓包函数要求 C∞C^\infty，拼接边界处必须检查所有阶导数；
  4. 忽略范数在原点不可微： 本题依靠原点附近的常值平台化解这一问题；
  5. 混淆光滑与解析： 非零鼓包函数不可能在整个连通欧氏空间上实解析；
  6. 缩放方向写反： 应确保内球对应阶跃变量 ≥1\geq 1，外球对应阶跃变量 ≤0\leq 0。

八、一句话总结

鼓包函数的本质，是利用指数函数压倒一切多项式增长的极限性质，制造无限阶平坦的边界，再通过归一化、距离复合与缩放，把“突然截断”改造成“无限光滑地关闭”。