欧氏空间上的鼓包函数

资料来源：Lec03.pdf，第 20—21 页（PDF 第 1—2 页）

鼓包函数解决的核心矛盾是：我们既希望函数只在一个有限区域内起作用，又不能像使用示性函数那样在边界处突然跳变。它可以被看成一个“边缘经过无限次打磨的开关”：内部完全打开，外部完全关闭，中间用一条无限光滑的过渡带连接。

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一、目标与基本概念

对于函数 $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，其支集定义为

$$\operatorname{supp}(f) =\overline{\left\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)\neq 0\right\}}.$$

若 $\operatorname{supp}(f)$ 是紧集，就称 $f$ 为紧支函数。欧氏空间中的闭且有界集合是紧集，因此只要一个光滑函数在某个有界闭球之外恒为零，它就是紧支光滑函数，也称为鼓包函数或测试函数。

本节要构造一个 $f_3\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$，使它满足

$$0\leq f_3\leq 1,\qquad f_3\big|_{\overline{B_1(0)}}\equiv 1,\qquad \operatorname{supp}(f_3)=\overline{B_2(0)}.$$

这里 $B_r(a)=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x-a\|<r\}$。

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二、思路溯源：为什么会想到三步构造

1. 直接截断为什么失败

如果直接令函数在球内等于 $1$、球外等于 $0$，那么它会在球面上跳跃，甚至不连续。若改成分段线性过渡，函数虽然连续，却会在拼接点出现尖角，仍然不可微。

因此，问题真正的信号不是“找一个衰减函数”，而是：

要找一个在截断边界处不仅函数值为零，而且所有阶导数也都为零的函数。

这种性质称为在边界处无限阶平坦。它使零函数与非零函数可以无缝粘接。

2. 构造路线

讲义采用下面的三步转化：

$$\text{无限阶平坦的半轴函数 }f_1 \longrightarrow \text{从 }0\text{ 到 }1\text{ 的平滑阶跃 }f_2 \longrightarrow \text{径向鼓包 }f_3.$$

第一步解决“怎样光滑地从零出发”；第二步解决“怎样得到精确的 $0$ 与 $1$”；第三步把一维开关推广到 $\mathbb{R}^n$。

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三、逐步推导

第一步：构造无限阶平坦的基础函数 $f_1$

定义

$$f_1(t)= \begin{cases} e^{-1/t},&t>0,\\ 0,&t\leq 0. \end{cases}$$

1. 为什么选 $e^{-1/t}$

当 $t\to 0^+$ 时，$1/t\to +\infty$，指数衰减 $e^{-1/t}$ 比任意幂次 $t^m$ 都快。令 $u=1/t$，则对任意整数 $m\geq 0$，

$$\lim_{t\to 0^+}t^{-m}e^{-1/t} =\lim_{u\to+\infty}u^m e^{-u} =0.$$

这条极限是整个构造的发动机：无论求导产生多高次的 $1/t$，指数衰减都能把它压回零。

2. 验证 $t=0$ 处的光滑性

在 $t>0$ 时反复使用链式法则，可以归纳得到

$$f_1^{(k)}(t)=e^{-1/t}P_k\!\left(\frac{1}{t}\right),$$

其中 $P_k$ 是某个多项式。上面的极限说明

$$\lim_{t\to 0^+}f_1^{(k)}(t)=0.$$

而在 $t<0$ 时 $f_1$ 恒为零，所有阶导数也恒为零。因此左右两侧的各阶导数都能在 $t=0$ 处以数值 $0$ 拼接，故

$$f_1\in C^\infty(\mathbb{R}),\qquad f_1^{(k)}(0)=0\quad(k=0,1,2,\ldots).$$

第二步：归一化成平滑阶跃函数 $f_2$

定义

$$f_2(t)=\frac{f_1(t)}{f_1(t)+f_1(1-t)}.$$

1. 分母为什么不会为零

若 $f_1(t)=0$，则 $t\leq 0$；若 $f_1(1-t)=0$，则 $t\geq 1$。这两个条件不可能同时成立，所以

$$f_1(t)+f_1(1-t)>0$$

对所有 $t\in\mathbb{R}$ 都成立。因而 $f_2$ 是全局定义的光滑函数。

2. 分区间判断函数值

由 $f_1$ 的定义：

$$f_2(t)= \begin{cases} 0,&t\leq 0,\\ \dfrac{f_1(t)}{f_1(t)+f_1(1-t)},&0<t<1,\\ 1,&t\geq 1. \end{cases}$$

因此

$$0\leq f_2(t)\leq 1,\qquad f_2(1-t)=1-f_2(t).$$

函数 $f_2$ 就是一个没有尖角的开关：在 $(-\infty,0]$ 上完全关闭，在 $[1,+\infty)$ 上完全打开，只在 $(0,1)$ 内平滑过渡。

第三步：用半径构造 $\mathbb{R}^n$ 上的鼓包函数 $f_3$

对 $x\in\mathbb{R}^n$ 定义

$$f_3(x)=f_2\bigl(2-\|x\|\bigr).$$

根据 $\|x\|$ 的大小分类：

$$f_3(x)= \begin{cases} 1,&\|x\|\leq 1,\\ f_2\bigl(2-\|x\|\bigr),&1<\|x\|<2,\\ 0,&\|x\|\geq 2. \end{cases}$$

理由如下：

1. 若 $\|x\|\leq 1$，则 $2-\|x\|\geq 1$，所以 $f_3(x)=1$；
2. 若 $1<\|x\|<2$，则 $0<2-\|x\|<1$，函数处于平滑过渡带；
3. 若 $\|x\|\geq 2$，则 $2-\|x\|\leq 0$，所以 $f_3(x)=0$。

于是

$$\left\{x:f_3(x)\neq 0\right\}=B_2(0),$$

从而

$$\operatorname{supp}(f_3)=\overline{B_2(0)}.$$

由 Heine—Borel 定理，$\overline{B_2(0)}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中是紧集，因此 $f_3$ 是紧支函数。

关键检查：$\|x\|$ 在原点不可微，为什么 $f_3$ 仍然光滑

这是径向构造中最容易漏掉的一点。

• 在 $x\neq 0$ 的区域，$x\mapsto\|x\|$ 是光滑函数，所以由复合函数的链式法则，$f_3$ 光滑；
• 在原点附近，只要 $\|x\|<1$ 就有 $f_3(x)=1$，所以 $f_3$ 在原点的一个邻域内是常值函数，当然光滑。

因此范数在原点的不可微性没有传递给 $f_3$。真正起保护作用的是鼓包中央的常值平台。

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四、对应函数图像与数形理解

这张图对应三次关键转化：

1. $f_1$ 在 $0$ 的左侧恒为零，右侧从零无限阶平坦地升起；
2. $f_2$ 把这种平坦性复制到区间两端，得到精确连接 $0$ 与 $1$ 的平滑阶跃；
3. $f_3$ 将阶跃反向并关于原点径向展开，形成“中间平、边缘缓、外部零”的鼓包。

在 $\mathbb{R}^2$ 中，等值线都是以原点为圆心的圆：

• 闭单位圆盘 $\overline{B_1(0)}$ 内函数恒为 $1$；
• 圆环 $1<\|x\|<2$ 是平滑下降的过渡带；
• 闭圆盘 $\overline{B_2(0)}$ 是支集，圆盘外函数恒为 $0$。

高维情形完全相同，只需把圆盘和圆环分别换成 $n$ 维球与球壳。

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五、推广：任意中心与任意内外半径

给定中心 $a\in\mathbb{R}^n$ 以及 $0<r<R$，定义

$$\varphi_{a,r,R}(x) =f_2\!\left(\frac{R-\|x-a\|}{R-r}\right).$$

则

$$0\leq\varphi_{a,r,R}\leq 1,\qquad \varphi_{a,r,R}\big|_{\overline{B_r(a)}}\equiv 1,\qquad \operatorname{supp}(\varphi_{a,r,R})=\overline{B_R(a)}.$$

验证只需观察仿射变量

$$s(x)=\frac{R-\|x-a\|}{R-r}.$$

• 当 $\|x-a\|\leq r$ 时，$s(x)\geq 1$，所以 $\varphi_{a,r,R}(x)=1$；
• 当 $\|x-a\|\geq R$ 时，$s(x)\leq 0$，所以 $\varphi_{a,r,R}(x)=0$。

讲义中的 $f_3$ 正是 $a=0$、$r=1$、$R=2$ 的特殊情形。

从单个球推广到任意紧集

若 $K\subset U\subset\mathbb{R}^n$，其中 $K$ 紧、$U$ 开，则可按以下方式构造在 $K$ 上恒为 $1$、支集包含于 $U$ 的鼓包函数：

1. 对每个 $q\in K$，选取同心球 $B_{r_q}(q)\subset\overline{B_{R_q}(q)}\subset U$；
2. 由 $K$ 的紧致性，从 $\{B_{r_q}(q)\}_{q\in K}$ 中选出有限子覆盖；
3. 对这些球分别构造局部鼓包 $\varphi_1,\ldots,\varphi_N$；
4. 令 $\psi=\sum_{i=1}^N\varphi_i$，则 $\psi\geq 1$ 于 $K$；
5. 再令 $\varphi=f_2\circ\psi$，就有 $\varphi\equiv 1$ 于 $K$，且 $\operatorname{supp}(\varphi)\subset U$。

这体现了鼓包函数最重要的用途：先在局部构造，再借助有限求和与平滑压缩得到整体对象。

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六、方法提炼：一题通一类

题型识别特征

看到下列要求时，应优先想到鼓包函数：

• “在某个紧集上恒为 $1$，在稍大的区域外恒为 $0$”；
• “要求 $C^\infty$，同时要求紧支”；
• “需要平滑截断、局部化或粘接”；
• “需要测试函数，或积分为 $1$ 的光滑核”。

标准构造流程

$$\boxed{ \text{平坦函数} \longrightarrow \text{归一化阶跃} \longrightarrow \text{距离复合} \longrightarrow \text{平移与缩放} }$$

具体模板是：

1. 用 $e^{-1/t}$ 制造边界处所有阶导数都为零的函数；
2. 用 $f_1(t)$ 与 $f_1(1-t)$ 归一化，得到 $[0,1]$ 值的平滑阶跃；
3. 把一维变量替换为到中心的距离；
4. 通过 $r,R$ 调节平台半径与支集半径；
5. 最后检查值域、恒等于 $1$ 的区域、支集和光滑性。

常见变体

不要求中央有一整块平台时，可以直接定义

$$\eta(x)= \begin{cases} \exp\!\left(-\dfrac{1}{1-\|x\|^2}\right),&\|x\|<1,\\ 0,&\|x\|\geq 1. \end{cases}$$

它同样属于 $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$。若需要积分为 $1$，再令

$$\widetilde{\eta}(x) =\frac{\eta(x)}{\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}\eta(y)\,dy}.$$

易错点清单

1. 忘记支集要取闭包： $f_3$ 的非零集是 $B_2(0)$，支集却是 $\overline{B_2(0)}$；
2. 把有界误当成紧支： 函数值有界不代表支集紧；
3. 只检查连续性： 鼓包函数要求 $C^\infty$，拼接边界处必须检查所有阶导数；
4. 忽略范数在原点不可微： 本题依靠原点附近的常值平台化解这一问题；
5. 混淆光滑与解析： 非零鼓包函数不可能在整个连通欧氏空间上实解析；
6. 缩放方向写反： 应确保内球对应阶跃变量 $\geq 1$，外球对应阶跃变量 $\leq 0$。

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八、一句话总结

鼓包函数的本质，是利用指数函数压倒一切多项式增长的极限性质，制造无限阶平坦的边界，再通过归一化、距离复合与缩放，把“突然截断”改造成“无限光滑地关闭”。