命题

设 (xn)(x_n) 是实数域上的柯西列，则存在严格递增的正整数序列 (nk)(n_k)，使得 (xnk)(x_{n_k}) 是 (xn)(x_n) 的一个子列，并且

∀k∈N+,∣xnk+1−xnk∣<12k.\forall k\in\mathbb{N}_+,\qquad \left\lvert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\rvert <\frac{1}{2^k}.

核心思想

柯西列允许我们把任意预先指定的正误差作为控制目标；因此，只需依次把误差取成 2−1,2−2,…2^{-1},2^{-2},\ldots，再递归地选取越来越靠后的项。

可以把柯西列想象成一群不断聚拢的点：只要把观察位置推得足够靠后，任意两个点之间都能小于指定的距离。现在我们给第 kk 次选点规定距离上限 2−k2^{-k}，柯西条件便能逐次满足这些越来越严格的要求。

思路溯源

题目中有两个关键信号：

  1. 已知条件是“柯西列”
    柯西列的定义为

    ∀ε>0,∃N∈N+,∀m,n≥N,∣xm−xn∣<ε.\forall \varepsilon>0,\quad \exists N\in\mathbb{N}_+,\quad \forall m,n\geq N,\quad \left\lvert x_m-x_n\right\rvert<\varepsilon.

    因而，只要看到“让两项之差小于某个给定正数”，就应考虑直接把这个正数代入柯西定义。

  2. 目标误差随 kk 变化
    目标中的误差是 2−k2^{-k}，所以不能只使用一次柯西定义，而要对每个 kk 分别取

    εk=12k.\varepsilon_k=\frac{1}{2^k}.

    每个 εk\varepsilon_k 会给出一个相应的起始位置 NkN_k。接下来还必须保证所选指标严格递增，才能真正得到一个子列，因此需要递归构造 (nk)(n_k)。

这背后的数学思想是：把一个无限目标拆成逐级收紧的有限要求，再用递归选择把这些要求串联起来。

逐步推导

第一步：为每一级误差取得柯西阈值

对任意 k∈N+k\in\mathbb{N}_+，取

εk=12k>0.\varepsilon_k=\frac{1}{2^k}>0.

由 (xn)(x_n) 是柯西列，存在 Nk∈N+N_k\in\mathbb{N}_+，使得

∀m,n≥Nk,∣xm−xn∣<12k.\forall m,n\geq N_k,\qquad \left\lvert x_m-x_n\right\rvert<\frac{1}{2^k}.

这里使用的是柯西列的定义。

第二步：递归构造严格递增的指标

先取

n1=N1.n_1=N_1.

假设 nkn_k 已经选定，再选取正整数 nk+1n_{k+1}，使得

nk+1≥max⁡{nk+1,Nk+1}.n_{k+1}\geq \max\{n_k+1,N_{k+1}\}.

这样的正整数一定存在，例如直接取

nk+1=max⁡{nk+1,Nk+1}.n_{k+1}=\max\{n_k+1,N_{k+1}\}.

由构造可得

nk+1≥nk+1>nk,n_{k+1}\geq n_k+1>n_k,

所以

n1<n2<⋯<nk<nk+1<⋯ .n_1<n_2<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots.

因此，(xnk)(x_{n_k}) 确实是 (xn)(x_n) 的一个子列。

另一方面，由归纳法可得

nk≥Nk,k∈N+.n_k\geq N_k,\qquad k\in\mathbb{N}_+.
  • 当 k=1k=1 时，n1=N1n_1=N_1；
  • 若构造到第 k+1k+1 项，则由定义有 nk+1≥Nk+1n_{k+1}\geq N_{k+1}。

第三步：代入第 kk 级柯西估计

固定任意 k∈N+k\in\mathbb{N}_+。由上一步，

nk≥Nk.n_k\geq N_k.

又因为 (nk)(n_k) 严格递增，

nk+1>nk≥Nk,n_{k+1}>n_k\geq N_k,

从而 nkn_k 与 nk+1n_{k+1} 都不小于 NkN_k。将

m=nk+1,n=nkm=n_{k+1},\qquad n=n_k

代入第 kk 级柯西估计，得到

∣xnk+1−xnk∣<12k.\left\lvert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\rvert <\frac{1}{2^k}.

由于 kk 是任意的，所以

∀k∈N+,∣xnk+1−xnk∣<12k.\boxed{ \forall k\in\mathbb{N}_+,\qquad \left\lvert x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\right\rvert <\frac{1}{2^k} }.

命题得证。

为什么称为“快速收敛”

仅控制相邻两项还不够直观。对任意正整数 p>qp>q，由三角不等式，

∣xnp−xnq∣≤∑j=qp−1∣xnj+1−xnj∣<∑j=qp−112j=12q−1(1−12p−q)<12q−1=21−q.\begin{aligned} \left\lvert x_{n_p}-x_{n_q}\right\rvert &\leq \sum_{j=q}^{p-1} \left\lvert x_{n_{j+1}}-x_{n_j}\right\rvert\\ &< \sum_{j=q}^{p-1}\frac{1}{2^j}\\ &= \frac{1}{2^{q-1}} \left(1-\frac{1}{2^{p-q}}\right)\\ &< \frac{1}{2^{q-1}} =2^{1-q}. \end{aligned}

这说明：从第 qq 个子列项开始，后面任意两个子列项之间的距离都被几何级数的尾和 21−q2^{1-q} 控制。这个上界随 qq 指数下降，所以该子列具有非常明确的收敛速度。

因为实数域是完备的，(xnk)(x_{n_k}) 收敛。若记其极限为 xx，令上式中的 p→∞p\to\infty，还可得到

∣xnq−x∣≤21−q.\left\lvert x_{n_q}-x\right\rvert\leq 2^{1-q}.

这给出了子列到极限的定量误差估计。