商集证明的小技巧 | Eternal Math Notes

一、核心思想：把逐点问题改写成“类与类之间的问题”

这两种做法共享一个思想：先决定哪些差别对当前问题没有影响，再把这些差别压掉，保留真正需要研究的信息。

本笔记的起点是连通拓扑流形的齐性，但方法并不限于流形。它还出现在道路连通性、拓扑群、局部常值函数、线性映射、几乎处处相等与不可测集的构造中。这里需要区分三个层次：

层次	做了什么	可以使用什么
等价类分解	把集合分成互不相交的类	集合运算、代表元、不交性
商拓扑	给等价类组成的集合赋予拓扑	连通性、紧性、连续映射
商代数结构或商范数	在类上定义运算或长度	单射、线性、范数、完备性等

仅仅写出商集，并不会自动得到后两层结构。每增加一种结构，都有需要核验的条件。

二、思路溯源：什么时候应该想到取商？

2.1 题目要求“任意两个对象都能联系起来”

典型表述包括：任意两点能用道路连接、任意两点可由自同胚互相移动、任意群元素能由某个邻域中的元素有限次相乘得到。

这时直接构造可能困难，因为两点相距很远，空间也没有统一坐标。可以先问：从一个对象出发，经过允许的操作，能够到达哪些对象？如果可达关系满足自反、对称和传递性，它就把空间分成等价类。目标变为“证明只有一个等价类”。

这里的等价类是整体定义的，并非一个小邻域。局部论证的任务，是说明每个类包含其每一点附近的所有点，从而证明这个类开。

2.2 题目反复出现“相差一个无关项”

例如，两个向量相差一个核中的向量，映射结果就相同；两个可测函数只在零测集上不同，它们的积分性质相同。

信号是：原来的对象存在冗余，而题目只关心某个不变量。取商把同一种结果的所有表示放在一起，常常使映射变为单射，或者使原来的半范数成为真正的范数。

2.3 需要构造“不重叠但又足够覆盖”的对象

如果想选择一些对象，让它们的变换彼此不重叠，同时又能覆盖一个大集合，可以先按变换关系分组，再从每组取一个代表。

等价类在这里负责组织重复，代表元负责消除重复。Vitali 集就是这一用法的经典例子。这与“证明只有一个类”方向不同，不能把所有商集方法都理解为连通性论证。

三、基础工具：等价类、商集和商拓扑

3.1 为什么等价关系能把集合分成若干组？

设 $X$ 是集合，关系 $\sim$ 满足：

自反性： $x\sim x$ ；
对称性： $x\sim y\Rightarrow y\sim x$ ；
传递性： $x\sim y$ 且 $y\sim z\Rightarrow x\sim z$ 。

定义 $[x]=\{y\in X:y\sim x\}$ 。若 $[x]\cap[y]$ 非空，取交集中的 $z$ 。由 $x\sim z$ 和 $z\sim y$ ，得到 $x\sim y$ 。再用传递性，得到 $[x]=[y]$ 。

因此两个等价类要么相同，要么不交。又由自反性，每个点属于自己的类，所以所有等价类覆盖 $X$ 。

商集是这些类组成的集合：

Q=X/{\sim}=\{[x]:x\in X\},\qquad \pi:X\to Q,\quad \pi(x)=[x].

要注意对象类型： $x$ 是原空间中的点， $[x]$ 是 $X$ 的子集，同时也是商集 $Q$ 中的一个点； $\{[x]\}$ 才是 $Q$ 中的单点子集。

3.2 商拓扑怎样定义？

现在设 $X$ 还有拓扑。在 $Q$ 上定义：

W\subset Q\text{ 开}\quad\Longleftrightarrow\quad\pi^{-1}(W)\subset X\text{ 开}.

这称为商拓扑。原像保持任意并、有限交，所以这一定义满足拓扑公理。按定义， $\pi$ 是连续满射。

它的直观含义是：商空间中的一批“类”构成开集，当且仅当把这些类全部展开回原空间，所得集合是开集。

特别地， $\pi^{-1}(\{[x]\})=[x]$ ，所以有非常有用的等价关系：

\boxed{\text{每个等价类在 }X\text{ 中开}\quad\Longleftrightarrow\quad X/{\sim}\text{ 是离散空间}.}

右边的“离散”是指商空间中每个单点集都开，因而任意子集都开。

3.3 饱和集：哪些集合能完整地降到商空间？

对 $A\subset X$ ， $\pi^{-1}(\pi(A))$ 是所有与 $A$ 相交的等价类的并，称为 $A$ 的饱和化。若它等于 $A$ ，就称 $A$ 是饱和集。

一个饱和集必须包含完整的等价类，不能只取一个类的一部分。这解释了商拓扑为什么检查原像：商空间只能识别完整的类。

也因此，商映射未必是开映射。对开集 $U\subset X$ ， $\pi(U)$ 开当且仅当其原像 $\pi^{-1}(\pi(U))$ 开，而这个饱和化不一定开。

一个具体例子：在 $\mathbb R$ 中只把 $0$ 和 $1$ 认作同一点，其他点各成一类。开集 $U=(-1/4,1/4)$ 的饱和化是 $U\cup\{1\}$ ，并非开集，所以 $\pi(U)$ 不在商空间中开。

四、第一种模板：等价类开，加连通性，推出只有一类

4.1 一般命题与两种证明

**直接证明。**任取一类 $C$ 。它非空且开。它的补集是其他所有等价类的并：

X\setminus C=\bigcup_{D\in X/{\sim},\,D\ne C}D.

右边是开集的并，所以补集开，因而 $C$ 也闭。由连通性，非空开闭子集 $C$ 只能是 $X$ 。

**商空间证明。**每类开，说明 $Q=X/{\sim}$ 离散。 $Q$ 又是连通空间 $X$ 在连续满射 $\pi$ 下的像，所以连通。非空离散空间若有至少两个点，任取一个单点及其补集，就形成不交的两个非空开集。因此连通的 $Q$ 只能有一个点。

两种证明表达同一件事。写题时，直接证明通常更短；理解方法时，商空间证明更能揭示结构。

4.2 局部条件怎样变成“每类开”？

只需验证以下条件：对每个 $x\in X$ ，存在开邻域 $U_x$ ，满足

\forall y\in U_x,\qquad y\sim x.

任取一类 $C$ 和 $x\in C$ ，传递性保证 $U_x\subset C$ 。因此 $C$ 中每个点都是内点， $C$ 开。

完整的证明结构可以记成：

flowchart LR
 A[定义可达关系] --> B[验证它是等价关系]
 B --> C[局部可达推出每类开]
 C --> D[商空间离散]
 D --> E[连通性迫使只有一类]

这里“局部”和“整体”的职责很清楚：局部条件控制每类的开性；连通性控制全空间能否分成多个这样的类。

4.3 例子一：局部道路连通加连通，推出道路连通

设 $X$ 连通且局部道路连通。定义 $x\sim y$ 表示存在一条道路连接 $x,y$ 。

常值道路给出自反性；把道路参数反向给出对称性；把两条道路首尾拼接给出传递性。所以等价类就是道路连通分支。

对任意 $x$ ，由局部道路连通性，可取含 $x$ 的道路连通开邻域 $U_x$ 。每个 $y\in U_x$ 都能在 $U_x$ 内通过道路与 $x$ 连接，因此 $U_x\subset[x]$ 。各类开，由“命题4.1”只有一类，故 $X$ 道路连通。

为什么要补充“局部道路连通”？因为连通性只排除开集分离，并不直接提供道路。局部条件先把道路分支变成开集，连通性才能限制它们。

4.4 例子二：连通开集中的两点能用折线连接

设 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 是非空连通开集，定义 $x\sim y$ 表示二者能在 $\Omega$ 内用有限条线段首尾相接而连接。

零长度线段、反向折线和折线拼接分别保证三个等价关系条件。对任意 $x\in\Omega$ ，由于 $\Omega$ 开，可取 $r>0$ 使 $B(x,r)\subset\Omega$ 。球内任意 $y$ 都能通过线段 $[x,y]$ 连到 $x$ ，因为欧氏球是凸的。

所以 $B(x,r)\subset[x]$ ，每类开，连通性推出只有一类。由此得到折线连接的存在性，而不必一开始就猜出从 $x$ 到 $y$ 的完整路线。

4.5 例子三：连通拓扑流形的齐性

设 $M$ 是非空连通无边界拓扑流形，定义 $x\sim y$ 表示存在自同胚 $h:M\to M$ 使 $h(x)=y$ 。

恒等映射、逆映射和映射复合保证这是等价关系，等价类称为自同胚群的轨道。附录证明：每点附近的点，都可以通过一个全局自同胚从该点移到。由此每个轨道开，再由连通性得到只有一个轨道。

注意，坐标图只提供局部同胚。若想得到整个流形的自同胚，需要额外完成“局部移动如何延拓到整体”的构造，不能省略这个环节。

五、同一模板的其他用途：开闭性、有限性与局部常值

5.1 每类开，本身就能推出每类闭

即使 $X$ 不连通，只要每类开，某一类的补集仍是其他开类的并，所以每类都是开闭集。连通性只是在这之后排除多个非空类，并非开闭性结论本身的必要条件。

5.2 紧空间若被分成开等价类，只能有有限类

假设 $X$ 非空且紧，每个等价类开。所有等价类形成 $X$ 的开覆盖，由紧性可取有限子覆盖。不同类彼此不交，所以任何没被选中的非空类都不会被这些已选类覆盖。因此根本没有剩余的类。

商空间语言表达同样的证明： $Q$ 是连续像，所以紧；它又离散。用所有单点集覆盖 $Q$ ，有限子覆盖只能覆盖有限多个点，因此紧离散空间必有限。

这说明：**连通性把类数限制为一，紧性把类数限制为有限。**两者控制的强度不同。

5.3 连通空间上的局部常值函数必为常值

设 $X$ 非空连通， $f:X\to S$ 局部常值。这里 $S$ 先只需是集合；局部常值指每个 $x$ 都有一个开邻域 $U_x$ ，使 $f$ 在 $U_x$ 上恒等于 $f(x)$ 。

定义 $x\sim y$ 当且仅当 $f(x)=f(y)$ 。等价类就是非空纤维 $f^{-1}(\{s\})$ 。局部常值保证每个纤维开，于是只有一个非空纤维， $f$ 恒定。

也可以把 $S$ 赋予离散拓扑。这时 $f$ 局部常值等价于 $f$ 连续：一个方向来自纤维开；另一个方向来自离散空间单点集开。连续像 $f(X)$ 既连通又离散，只能有一点。

**常见误区：连续并不自动意味着局部常值。**例如 $f(x)=x$ 在 $\mathbb R$ 上连续而不局部常值。离散值域或纤维开，才是这里的关键信号。

5.4 拓扑群中的开子群为什么闭？

设 $G$ 是拓扑群， $H\le G$ 是开子群。定义

x\sim y\quad\Longleftrightarrow\quad x^{-1}y\in H.

等价类是左陪集 $xH$ 。左平移 $L_x:g\mapsto xg$ 是同胚，故所有 $xH$ 都开。于是 $H$ 的补集是其他开陪集的并，所以 $H$ 闭。

若 $G$ 连通，则非空开闭子群 $H$ 只能是 $G$ 。这里不需要 $H$ 正规：左陪集集 $G/H$ 和它的商拓扑已经够用；要把 $G/H$ 进一步作为商群，才需要正规性。

一个典型应用：设 $G$ 连通， $U$ 是单位元 $e$ 的开邻域，取对称开邻域 $V=U\cap U^{-1}$ 。令 $H=\bigcup_{n\ge1}V^n$ ，其中 $V^n$ 表示 $n$ 个 $V$ 中元素的乘积集合。

因为 $e\in V$ ， $H$ 非空；因为 $V^mV^n\subset V^{m+n}$ 且 $(V^n)^{-1}=V^n$ ， $H$ 是子群。对每个 $n$ ， $V^n$ 开：可用归纳法，写成 $V^{n+1}=\bigcup_{a\in V^n}aV$ 。所以 $H$ 开，继而 $H=G$ 。由 $V\subset U$ 得到

G=\bigcup_{n\ge1}U^n.

取对称邻域的动机，是让“有限次乘积得到的元素”还对取逆封闭，从而真正形成等价关系背后的子群。

六、第二种模板：映射在每类上恒定，就把映射降到商集

6.1 良定义是第一道检查

给定 $f:X\to Y$ ，希望定义 $\bar f:X/{\sim}\to Y$ ，令 $\bar f([x])=f(x)$ 。

这个写法成立的充要条件是

x\sim x'\quad\Longrightarrow\quad f(x)=f(x').

原因是同一个类有不同代表元。若更换代表元导致输出改变， $\bar f$ 就没有给商集中的同一个点指定唯一结果。

条件成立时，有分解 $f=\bar f\circ\pi$ ；因为 $\pi$ 满射， $\bar f$ 唯一。

若 $Q$ 赋予商拓扑， $Y$ 也是拓扑空间，则还有

\boxed{\bar f\text{ 连续}\quad\Longleftrightarrow\quad f\text{ 连续}.}

证明如下。若 $\bar f$ 连续，复合 $f=\bar f\circ\pi$ 连续。反过来，若 $f$ 连续，对任意开集 $O\subset Y$ ，有 $\pi^{-1}(\bar f^{-1}(O))=f^{-1}(O)$ 开。按商拓扑定义， $\bar f^{-1}(O)$ 开，所以 $\bar f$ 连续。

这就是商拓扑很实用的性质：把商空间上连续性的检查，拉回熟悉的原空间。

6.2 线性映射为什么要“模掉核”？

设 $T:V\to W$ 是线性映射，令 $N=\ker T$ 。由线性性，

T(v)=T(w)\quad\Longleftrightarrow\quad T(v-w)=0\quad\Longleftrightarrow\quad v-w\in N.

因此定义 $v\sim w$ 当且仅当 $v-w\in N$ 。每个等价类 $v+N$ 恰好收集所有具有相同输出的向量。

在商向量空间 $V/N$ 上定义 $\widetilde T([v])=T(v)$ ：

**良定义。**同类向量之差在核中，所以输出相同。
**线性。**由 $[v]+[w]=[v+w]$ 和 $\lambda[v]=[\lambda v]$ 直接得到；这些运算之所以不依赖代表元，是因为 $N$ 是线性子空间。
**单射。**若 $\widetilde T([v])=\widetilde T([w])$ ，则 $v-w\in N$ ，从而 $[v]=[w]$ 。
**满到像。**任意 $y\in\operatorname{im}T$ 都有表示 $y=T(v)=\widetilde T([v])$ 。

所以 $V/\ker T$ 与 $\operatorname{im}T$ 线性同构。例如 $T:\mathbb R^2\to\mathbb R$ ， $T(x,y)=x$ 。原来同一条竖直线上的点都给出同一个输出；取商把每条竖直线压成一个点，剩下的参数恰好是横坐标。

这里“商掉核”没有使所有向量变成同一类，而是恰好消除了导致映射不单射的重复。这与“开类加连通性”的证明目标不同。

6.3 几乎处处相等为什么也要取商？

设 $(\Omega,\Sigma,\mu)$ 是测度空间， $1\le p<\infty$ 。在所有满足 $\int_\Omega|f|^p\,d\mu<\infty$ 的实值可测函数中，若直接使用

\|f\|_p=\left(\int_\Omega|f|^p\,d\mu\right)^{1/p},

可能有 $f$ 并非逐点为零，但 $\|f\|_p=0$ 。例如在 $[0,1]$ 的 Lebesgue 测度下，单点集的示性函数就有这个性质。

因此定义 $f\sim g$ 当且仅当 $f=g$ 几乎处处。在等价类上定义 $\|[f]\|_p=\|f\|_p$ 。

先检查良定义：同类函数的绝对值 $p$ 次幂几乎处处相同，故积分相同。再检查正定性：若 $\|[f]\|_p=0$ ，则对每个正整数 $k$ ，集合 $E_k=\{|f|\ge1/k\}$ 满足

0=\int_\Omega|f|^p\,d\mu\ge k^{-p}\mu(E_k),

因此 $\mu(E_k)=0$ 。由 $\{f\ne0\}=\bigcup_{k\ge1}E_k$ 得到 $f=0$ 几乎处处，即 $[f]=[0]$ 。

所以取商修复了范数的正定性。齐次性来自积分；三角不等式是 Minkowski 不等式，需要另行证明，不能因为取商就自动得到。通常 $L^p$ 空间的元素正是这些等价类。

七、第三种模板：每类取一个代表，用不交性构造反例

7.1 Vitali 集：为什么定义“相差有理数”？

在 $[0,1]$ 上规定 $x\sim y$ 当且仅当 $x-y\in\mathbb Q$ 。因为有理数对取负和相加封闭，这确实是等价关系。

借助选择公理，从每个等价类选恰好一个代表，组成 $V\subset[0,1]$ 。这个“选代表”的步骤没有给出一个显式可计算的规则，应当与前面不需要选代表的开闭集证明区分。

为什么选这个关系？因为我们希望使用 Lebesgue 测度的平移不变性，又希望只出现可数多个平移。有理数恰好提供了一个可数的平移族；按有理差分组，则恰好控制这些平移是否重叠。

7.2 两个必须检查的性质

对 $r\in\mathbb Q\cap[-1,1]$ ，考察 $V+r$ 。

**不同有理数对应的平移两两不交。**若 $v+r=w+s$ ，则 $v-w=s-r\in\mathbb Q$ ，所以 $v,w$ 同类。每类只选一个代表，故 $v=w$ ，继而 $r=s$ 。

**这些平移覆盖 $[0,1]$ ，并且包含于一个有限区间。**任取 $x\in[0,1]$ ，取它所在类的代表 $v\in V$ ，则 $r=x-v\in\mathbb Q\cap[-1,1]$ ，所以 $x\in V+r$ 。同时 $v\in[0,1]$ 、 $r\in[-1,1]$ ，故 $v+r\in[-1,2]$ 。

因此

[0,1]\subset\bigcup_{r\in\mathbb Q\cap[-1,1]}(V+r)\subset[-1,2].

7.3 假设可测，得到矛盾

若 $V$ 可测，则所有 $V+r$ 可测，且测度相同。

若 $m(V)=0$ ，这些可数平移的并测度为零，不可能覆盖测度为 $1$ 的 $[0,1]$ 。

若 $m(V)>0$ ，由于平移族可数无穷且两两不交，可数可加性说明其并测度为无穷，但该并包含于测度为 $3$ 的 $[-1,2]$ ，仍然矛盾。

因此 $V$ 不可测。这里取商没有让对象“更连续”，而是提供了不重复的代表，帮助制造出测度性质之间的矛盾。

八、适用边界：不能从“取了商”直接跳到结论

8.1 连通空间的商空间不一定只有一个点

连续像保持连通性，但连通空间可以有很多点。要从连通性推出商空间只有一个点，还需要它离散，或者有其他能排除多点连通空间的条件。

最简单的反例是在 $\mathbb R$ 上只把相等的点视为等价。这时商空间就是 $\mathbb R$ 本身，连通却远不止一个点。

8.2 等价类稠密，不等于等价类开

在整个 $\mathbb R$ 上定义 $x\sim y$ 当且仅当 $x-y\in\mathbb Q$ 。等价类是 $x+\mathbb Q$ ，每类都稠密，但不是开集。

商集不止一点，例如 $[0]\ne[\sqrt2]$ 。它的商拓扑甚至是平凡拓扑，即只有空集和全集开。证明如下：若 $A\subset\mathbb R$ 是非空饱和开集，则存在非空开区间 $I\subset A$ 。由饱和性， $I+r\subset A$ 对每个 $r\in\mathbb Q$ 成立。任取 $x\in\mathbb R$ ，区间 $x-I$ 中有有理数 $r$ ，于是 $x\in I+r\subset A$ 。所以 $A=\mathbb R$ 。

这个例子说明：商空间可能把许多类挤得无法用开集区分；它不一定是离散空间，也不一定是 Hausdorff 空间。

8.3 可达关系未必对称

例如在 $\mathbb R$ 上只允许“向右移动”，定义 $x\preceq y$ 当且仅当 $x\le y$ 。这满足自反和传递性，但不对称，不能直接作为本笔记的等价关系。

可以改成“互相可达”，但改完后必须重新检查其等价类是否拥有需要的局部性质。不能先把不可逆操作硬分组，再沿用同胚轨道的证明。

8.4 映射下到商集后，双射也未必是同胚

如果按 $f(x)=f(y)$ 分组，那么诱导映射 $\bar f:X/{\sim}\to f(X)$ 在集合层面总是双射。若 $f$ 连续，它也连续，但其逆是否连续还需要额外条件。

例如恒等集合映射 $f:\mathbb R_{\mathrm{discrete}}\to\mathbb R_{\mathrm{usual}}$ 连续且双射，但不是同胚，因为普通拓扑中单点集不开。这里纤维都是单点，按纤维取商没有改变定义域的离散拓扑。

因此要区分集合双射、线性同构和拓扑同胚。要得到同胚，可额外使用“连续双射且定义域紧、值域 Hausdorff”，或者证明原映射具有相应的商映射性质。

九、实际做题时的操作清单

问题信号	优先尝试的关系	需要重点检查
任意两点能连接或互相移动	可由允许操作互相到达	自反、可逆、可复合；每类是否开
需要证明某子集的补集开	陪集、轨道或其他自然分块	补集是否真是其他完整类的并
局部不变，想推出整体不变	具有相同取值或相同状态	纤维开；原空间连通
紧空间中想控制类别数量	题目提供的自然分类	每类开，从而商空间紧且离散
映射不单射，但重复来自同一原因	具有相同输出；线性时相差核元素	良定义、诱导单射、额外结构
零长度或零距离仍可能对应不同对象	相差一个零对象	关系与运算相容；商后正定性
需要不重复的代表与可数变换	某个可数变换族生成的等价关系	选择步骤、不交性、覆盖和计数

标准流程可以整理为六步：

写清希望忽略什么差异，或允许什么操作。
明确关系，并逐项验证它是等价关系。
解释每个等价类具体是什么，而不只写一个符号。
根据目标，检查类的开性、纤维不变性、运算相容性或代表元性质。
选用连通性、紧性、单射性、测度可加性等真正产生结论的工具。
把关于类的结论翻译回原问题，核对量词、定义域和结论强度。

最值得保留的提问是：**这道题真正需要区分的是每一个对象，还是只需要区分某几种类型？**如果类内差异不影响问题，就值得考虑取商。

十、变式训练

10.1 连通度量空间中的有限小步连接

设 $(X,d)$ 非空且连通。固定 $\varepsilon>0$ ，证明任意 $x,y\in X$ 之间存在有限点列 $x=x_0,x_1,\ldots,x_N=y$ ，使每步 $d(x_{j-1},x_j)<\varepsilon$ 。

答案与思路

定义两点等价，当且仅当它们之间存在这样的有限点列。长度为零的点列、逆序和首尾拼接保证这是等价关系。若 $z\in[x]$ 且 $d(z,w)<\varepsilon$ ，在到达 $z$ 的点列后附上 $w$ 即可，因此 $B(z,\varepsilon)\subset[x]$ 。每类开，由连通性只有一类。

这里没有构造连续道路。每个固定步长下存在有限点列，与存在一条连接两点的连续道路，是不同的要求。

10.2 紧空间上的局部常值函数

设 $X$ 是非空紧空间， $f:X\to S$ 局部常值。证明 $f(X)$ 有限；若 $X$ 还连通，证明 $f(X)$ 只有一个元素。

答案与思路

按相同函数值分组。各非空纤维都是开集，且构成 $X$ 的开覆盖。紧性给出有限子覆盖，因此只有有限多个非空纤维。若再有连通性，由开等价类命题只剩一个纤维。

也可给 $S$ 离散拓扑，此时 $f$ 连续， $f(X)$ 紧且离散，所以有限；若 $X$ 连通，其像还连通，因此是单点。

附录：流形上“局部可移动”的完整证明

设 $D=\{x\in\mathbb R^n:\|x\|\le1\}$ ，任取 $b\in\operatorname{int}D$ 。把 $x=tu$ 沿线段 $[0,u]$ 的位置，送到线段 $[b,u]$ 上同一比例的位置：

H_b(tu)=(1-t)b+tu,\qquad H_b(x)=x+(1-\|x\|)b.

这里 $0<t\le1$ 、 $\|u\|=1$ ，并令 $H_b(0)=b$ 。因为闭球凸，像仍在 $D$ 内；公式保证连续，并且在球面上 $H_b$ 是恒等映射。

从内部点 $b$ 出发的每条射线恰好与球面相交一次，因此每个 $y\ne b$ 都唯一写成 $(1-t)b+tu$ ，原像唯一是 $tu$ ； $b$ 的唯一原像是 $0$ 。故 $H_b$ 双射。连续双射的定义域 $D$ 紧、值域 $D$ 为 Hausdorff 空间，所以 $H_b$ 是同胚。

在无边界流形 $M$ 的任意点 $p$ 附近，取坐标图 $\psi:U\to\Omega$ ，经平移缩放使 $\psi(p)=0$ 且 $D\subset\Omega$ 。令 $K=\psi^{-1}(D)$ 、 $V=\psi^{-1}(\operatorname{int}D)$ 。对 $q\in V$ ，取 $b=\psi(q)$ ，定义

F(x)=\begin{cases} \psi^{-1}\bigl(H_b(\psi(x))\bigr),&x\in K,\\ x,&x\notin K. \end{cases}

则 $F(p)=q$ 。 $K$ 紧，由 $M$ 的 Hausdorff 性知它闭； $M\setminus V$ 也闭。这两个闭集覆盖 $M$ ，而在交集 $K\setminus V$ 上，内部公式也是恒等映射。由粘贴引理， $F$ 连续。用 $H_b^{-1}$ 定义内部逆映射、外部仍取恒等映射，同理可知逆映射连续。因此 $F$ 是全局自同胚。

若维数为 $0$ ，每个点本身就是开邻域，局部结论由恒等映射成立；非空连通的 $0$ 维流形只有一个点。若允许边界，则不能把上述构造直接用于边界点与内部点之间，例如 $[0,1]$ 的端点不能由自同胚移到内部。

资料来源与进阶联系

《实分析讲义》，PDF第32—33页，印刷页30—31，§1.7“Lebesgue不可测集”、定理1.48及命题1.49：有理差等价关系、等价类代表元及有理平移的不交覆盖。
《实变函数习题》，PDF第65页，印刷页64，Problem 4.38：Vitali不可测集的代表元构造与两种测度情形的矛盾。
《泛函分析》，PDF第108—109页，印刷页104—105，题目44（2.3.11）：令 $N=\ker A$ ，通过 $X/N$ 上的诱导映射消去核。本笔记在第六节先给出不依赖 Banach 空间理论的代数版本。

这些资料分别体现了“选代表构造对象”与“消去映射冗余”两种用法。本笔记对开等价类命题、商拓扑的映射分解及各个拓扑例子给出了自足证明，不将其归作上述讲义的原文结论。